Відкрити головне меню

Інформація за Фішером

У математичній статистиці та теорії інформації інформацією за Фішером називається міра кількості інформації, що спостережувана випадкова змінна X несе про невідомий параметр θ, від якого залежить ймовірність X. Формально це дисперсія функції внеску вибірки. Ця функція названа на честь Рональда Фішера, що описав її.

ВизначенняРедагувати

Нехай   — густина розподілу для даної статистичної моделі  . Тоді якщо визначена функція:  ,

де   — логарифмічна функція правдоподібності, а   — математичне сподівання за заданого  , то вона називаеться інформацією за Фішером для даної статистичної моделі при   незалежних випробуваннях. Для регулярних моделей:   (У цьому і полягає означення регулярності).

На разі, виписана величина дорівнює її дисперсії, позаяк математичне сподівання функції внеску вибірки рівне нулю,.

Кількістю інформації за Фішером, що міститься в одному спостереженні, називають:

 .

Для регулярних моделей всі   рівні між собою.

Якщо вибірка складається з одного елементу, то інформація за Фішером записується так:

 .

З умови регулярності, а також з того, що у разі незалежності випадкових величин дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій, випливає, що для   незалежних випробувань  .

ВластивостіРедагувати

  • З вказаної вище властивості дисперсій виходить, що у разі незалежності випадкових величин   (що розглядаються в одній статистичній моделі) інформація за Фішером їхньої суми дорівнює сумі інформацій за Фішером кожної з них.
  • Позначимо інформацію за Фішером для випадкової величини   через  . Якщо   — статистика, для якої визначена інформація за Фішером, то  .

Див. такожРедагувати