Перетворення Фур'є

(Перенаправлено з Інтеграл Фур'є)

Перетворення Фур'є — інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоб розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (як-от мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.

Визначення ред.

Перетворення Фур'є функції   математично визначається як комплекснозначна функція  , яка задається інтегралом[1]

 

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

 

Вступ ред.

Див. також: Аналіз Фур'є
 
У перших кадрах анімації, функція f розкладена у ряд Фур'є: лінійну комбінацію синусів і косинусів (синім). Частотні компоненти цих синусів і косинусів розподілені у частотному спектрі представлені як вертикальні піки у частотній області (фактично це Дельта-функції Дірака, що показані в останніх кадрах анімації). Представлення функції у частотній області є множиною цих піків із частотами, що показані в розмірності функції.

Перетворення Фур'є бере початок із вивчення рядів Фур'є. При вивченні рядів Фур'є складні, але періодичні функції записуються у формі суми простих хвиль, що математично задаються функціями синусів і косинусів. Перетворення Фур'є є продовженням рядів Фур'є для випадку коли період представленої функції подовжений і може наближатися до нескінченності[1].

Завдяки властивостям синуса і косинуса, за допомогою інтегралу можна отримати амплітуду кожної хвилі ряду Фур'є. У багатьох випадках бажано використовувати формулу Ейлера, яка визначає, що e = cos(2πθ) + i sin(2πθ), із чого випливає, що можна задати ряд Фур'є через елементи базових хвиль e. Це дає змогу спростити вираз при розрахунку багатьох формул.

Представлення синусів і косинусів у вигляді комплексних експонент приводить до того, що коефіцієнти Фур'є є комплексними значеннями. Зазвичай це комплексне представлення числа інтерпретують так, що воно описує значення як амплітуду (або розмір) хвилі, що є складовою заданої функції, і фазу (або початковий кут) хвилі. Ці комплексні експоненти іноді містять від'ємні «частоти». Якщо θ вимірюється в секундах, тоді хвилі e і e−2π обидві мають один повний цикл довжиною в секунду, але вони задають різні частоти в перетворенні Фур'є. Таким чином, частота більше не задає кількість періодів на одиницю часу, але досі є тісно пов'язаною.

Існує тісний зв'язок між визначенням рядів Фур'є і перетворення Фур'є для функцій f, що приймають нульове значення за межами інтервалу. Для таких функцій, ми можемо розрахувати ряд Фур'є на будь-якому інтервалі, що містить точки де f не є нульовою. Перетворення Фур'є також визначене для таких функцій. Зі збільшенням довжини інтервалу, на якому ми розраховуємо ряд Фур'є, коефіцієнти ряду Фур'є починають бути схожими на перетворення Фур'є, а сума ряду Фур'є для f починає бути схожою на обернене перетворення Фур'є. Аби пояснити це, припустимо, що T є достатньо великим, таким, що інтервал [−T2, T2] містить інтервал, у якому f не є тотожно нульовою. Тоді n-й коефіцієнт ряду cn задається як:

 

Порівнявши це із визначенням перетворення Фур'є, отримаємо що

 

оскільки f (x) є нульовою за межами [−T2, T2]. Таким чином, коефіцієнти Фур'є є лише значеннями перетворення Фур'є, що задані для сітки шириною в 1T, помножені на ширину сітки 1T.

При певних умовах, ряд Фур'є для f буде дорівнювати функції f. Іншими словами, f можна записати як:

 

де остання сума, є першою сумою, яку переписано використовуючи визначення ξn = nT, і Δξ = n + 1TnT = 1T.

Таким чином, друга сума є сумою Рімана, і тому задавши T → ∞ вона збігатиметься до інтеграла, який відповідає оберненому перетворенню Фур'є заданого в розділі визначення. При певних умовах цей аргумент може бути точним[2].

При вивченні рядів Фур'є числа cn можна розглядати як «кількість» присутності хвилі у ряді Фур'є для f. Аналогічно, як видно з описаного вище, перетворення Фур'є можна уявити як функцію, що вимірює, наскільки чітко окрема частота присутня в нашій функції f, і можна поєднати ці хвилі за допомогою інтегралу (або «неперервної суми») аби відтворити оригінальну функцію.

Властивості ред.

Якщо задані інтегровні функції  ,   та   та їхні відповідні перетворення Фур'є  ,   та  , тоді самому перетворенню властиво наступне:

Лінійність
Для довільних комплексних чисел   та  , якщо  , тоді    
Трансляція
Для довільного дійсного числа  , якщо  , тоді   
Модуляція
Для довільного дійсного числа  , якщо  , тоді   .
Масштабування
Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо  , тоді   .     Випадок a = −1 призводить до властивості «обернення часу», згідно з якою: якщо  , тоді   .
Спряження
Якщо  , тоді   
Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце «умова дійсності»    
Згортка
Якщо  , тоді   

Перетворення Фур'є узагальнених функцій ред.

Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Як основний простір вибирають простір гладких швидкоспадних функцій (простір Шварца):

 

Цей простір є інваріантним відносно перетворення Фур'є.

Позначимо через   спряжений простір до  . Цей підпростір простору всіх узагальнених функцій називається простором узагальнених функцій повільного зростання. Для довільної функції   її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція  , яка діє на основні функції за правилом

 

Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції:

 

Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа, у цьому випадку  .

Перетворення Фур'є функцій багатьох змінних ред.

Перетворення Фур'є може бути означене для довільної кількості змінних (вимірів)  :

 

де   and   —  -вимірні вектори, а   позначає скалярний добуток цих векторів.

Використання ред.

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектра неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і, відповідно, SETI@home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу   має вигляд

 ,

де   — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і яке змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

 

Оскільки

 ,

де   — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

 ,

де

 .

Важливим висновком із цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи  .

Таблиця образів деяких функцій ред.

У наступній таблиці   и   позначають перетворення Фур'є функцій   і  , відповідно. Функцій   і   повинні бути інтегровними або узагальненими функціями.

Як множник при інтегралі у формулі для прямого та зворотного перетворення Фур'є тут вибрано  .

Функція Образ Примітки
1     Лінійність
2     Запізнення
3     Частотний зсув
4    
5     Перетворення Фур'є похідної
6    
7     Перетворення згортки
8     Зворотнє до 7
9     Перетворення дельта-функції Дірака
10     Зворотнє до 9
11     Для  -ї узагальненої похідної дельта-функції
12     Наслідок з 3 і 10
13    
14    
15     Образ функції Гауса   збігається з оригіналом (функція належить до простору Шварца)
16     фільтр низьких частот, прямокутна функція
17     Тут   — функція знаку.
18    
19    
20     Тут   — Функція Гевісайда.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти   використовують лінійну частоту  , розподіляють множник   порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

Джерела ред.

  • До методу розділення змінних Фур'є: Навч.-метод. посіб. / О. С. Гаврилів. — Л. : Вид. Тараса Сороки, 2009. — 32 c.
  • Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та застосування: навч.-метод. посіб. [для студентів та аспірантів мех.-мат. і природн. спец. ВНЗ] / Г. П. Лопушанська, А. О. Лопушанський, О. М. М'яус ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. — Львів: ЛНУ, 2014. — 152 с. — Бібліогр.: с. 147—152 (90 назв).
  • Bochner S., Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.

Література ред.

  • Функції комплексної змінної. Перетворення Фур'є та Лапласа : Навч. посіб. для студ. техн. спец. вищ. закл. освіти / Я. І. Дасюк, В. С. Ільків, П. І. Каленюк, П. П. Костробій, З. М. Нитребич; Ін-т змісту і методів навчання. — Л., 1999. — 271 c. — (Математика для інженерів). — Бібліогр.: 20 назв.

Примітки ред.

Посилання ред.