Гармонічні коливання

Гармонічними коливаннями називаються періодичні коливання фізичної величини (або будь-якої іншої) залежно від часу, які відбуваються згідно із законами синуса або косинуса

Гармонічні коливання
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Гармонічні коливання у Вікісховищі

При проходженні хвилі в просторі кожна точка здійснює гармонічні коливання

$y=A\cos(\omega t+\varphi )$,

або

$y=A\sin(\omega t+\varphi )$,

де $y$ — це фізична величина, що коливається, $t$ — час, $A$ — це найбільше значення, яке приймає величина $y$ під час коливань, яке називають амплітудою коливань, $\omega$ — циклічна частота коливань, $\varphi$ — фаза коливань.

Періодом коливань називається величина

$T={\frac {2\pi }{\omega }}$.

Частота коливань визначається, як

$\nu ={\frac {1}{T}}$.

Диференціальні рівняння

Фізична величина $y$, яка здійснює гармонічні коливання, задовольняє диференціальне рівняння

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega ^{2}y=0$.

У цьому випадку амплітуда коливань визначається початковими умовами.

Гармонічний осцилятор із частотою $\omega _{0}$ може здійснювати гармонічні коливання на іншій частоті $\omega$ під впливом зовнішньої дії з цією частотою. У такому випадку гармонічні коливання величини $y$ задовольняє диференціальному рівнянню

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=f\cos(\omega t+\varphi )$.

Такі коливання називаються вимушеними. Амплітуда вимушених коливань визначається величиною зовнішньої дії та співвідношенням величин власної частоти та частоти зовнішньої сили. Див. Резонанс.

Згасання гармонічних коливань

В результаті дії різноманітних сил, які призводять до втрати енергії, коливання можуть згасати. В такому випадку вони описуються формулою

$y=y_{0}e^{-\alpha t}\cos(\omega t+\varphi )$.

Величина $\alpha$ називається декрементом згасання коливань. Обернена до декременту величина називається сталою часу згасаючих коливань.

Ангармонічні коливання

Періодичні коливання, що не описуються вказаним законом називаються ангармонічними. Якщо величина $y$ здійснює коливання із періодом $T$ таким чином, що

$y(t+T)=y(t)$,

то їхня частота визначається, як $\omega =2\pi /T$.

Ангармонічні коливання, які є періодичною функцією, можна розкласти в ряд Фур'є, тобто записати у вигляді суми гармонічних коливань:

$y=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(n\omega t+\varphi )$.

Члени цього розкладу називаються гармоніками. В акустиці вищі члени такого розкладу називаються також обертонами; саме вони визначають тембр звуку.

Приклади

Гармонічні коливання дуже розповсюджені в природі й техніці. До них належать малі коливання підвішеного на пружині тягаря, малі коливання маятника, коливання в молекулах, якими зумовлене поглинання інфрачервоних променів, різноманітні коливання в електротехніці, наприклад у коливальному контурі та інші.

Див. також

• Вимушені коливання
• Гармонічний осцилятор
• Гармонічний ряд звуків