Ґратка (порядок)

Ґратка — частково впорядкована множина, в якій для кожної пари елементів існує супремум та інфімум.

Ґратка розбиття множини $~\{1,2,3,4\}$

«Ґратко-подібними» структурами є напівґратки, ґратки, булеві алгебри, алгебри Гейтінга.

Всіх їх можна визначити і як алгебраїчні структури, тому теорія ґраток є частиною як теорії порядку, так і універсальної алгебри.

Напівґратка

Напівґратка — частково впорядкована множина, в якій визначена операція join (join-напівґратка) або операція meet (meet-напівґратка).

Бінарні операції join та meet, позначаються $\lor$ та $\land$ відповідно; очевидно, що вони є комутативними, асоціативними та ідемпотентними операціями.

Обидві операції є монотонними по відношенню до порядку, тобто:

із $a_{1}\leqslant a_{2}$ та $b_{1}\leqslant b_{2}$ випливає $(a_{1}\lor b_{1})\leqslant (a_{2}\lor b_{2})$ та $(a_{1}\land b_{1})\leqslant (a_{2}\land b_{2}).$

Ґратка є одночасно join-напівґраткою та meet-напівґраткою.

Операцію join також можна визначити як бінарну операцію супремум(x, y), а операцію meet — інфімум(x, y). В такому разі join-напівгратку називають верхньою піврешіткою, а meet-напівгратку відповідно нижньою.^{[джерело?]}

Тому означення:

• Верхня півґратка — частково впорядкована множина, з точною верхньою гранню (для кожної пари елементів існує супремум).
• Нижня півґратка — частково впорядкована множина, з точною нижньою гранню (для кожної пари елементів існує інфімум).

Ґратка, як алгебрична структура

Дистрибутивна ґратка
всіх дільників числа 60, впорядкованих за подільністю.

Ґратка може бути визначена як алгебрична структура з двома бінарними операціями (позначаються $\lor$ та $\land$), що задовольняють тотожностям:

$a\lor b=b\lor a,$	$a\land b=b\land a$	(комутативність)
$a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c,$	$a\land (b\land c)=(a\land b)\land c$	(асоціативність)
$(a\lor b)\land b=b,$	$(a\land b)\lor b=b$	(закон поглинання)

Із закону поглинання слідує не тільки:

$a\lor a=a,\qquad a\land a=a$ (ідемпотентність)

але і показується дуальність операцій $\lor$ та $\land$, що обумовлено дуальністю супремума та інфімума.

$\delta$-ґратка — упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних і обмежених зліченних підмножин.

$\sigma$-ґратка — упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних зліченних підмножин.

Обмежена ґратка — ґратка, в якій існує найбільший та найменший елемент, позначаються $~1$ та $~0$ відповідно. Довільну ґратку можна зробити обмеженою, доповнивши її елементами $~1$ та $~0$.

Очевидно, що всі скінченні ґратки є обмеженими.

Доповнена ґратка — обмежена ґратка, в якій для кожного елемента a існує доповнення, тобто елемент b такий, що:

$a\lor b=1,\qquad a\land b=0.$

Дистрибутивна ґратка — ґратка, що задовольняє властивість:

$a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c),\qquad a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$ (дистрибутивність)

Булева алгебра — доповнена дистрибутивна ґратка.

Дистрибутивна напівґратка

Напівґратка теж може бути дистрибутивною: meet-напівґратка є дистрибутивною, якщо для всіх a, b, та x:

Якщо a ∧ b ≤ x тоді існують a' та b' такі, що a ≤ a' , b ≤ b' та x = a' ∧ b' .

Модулярна ґратка — для довільного $~x\leqslant b$ виконується $x\lor (a\land b)=(x\lor a)\land b.$

Властивості

• Для довільного $~x\leqslant b$ виконується $x\lor (a\land b)\leqslant (x\lor a)\land b,$

це доводиться обчисленням виразу при $x\leqslant (a\land b)$ та $x\not \leqslant (a\land b)$

Приклади

Діаграма впорядкування за включенням підмножин множини з трьох елементів.

1. множина всіх підмножин даної множини, впорядкована за включенням; $\sup\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x,y\},\inf\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x\},sup\{\{x\},\{y,z\}\}=\{x,y,z\},\inf\{\{x\},\{y,z\}\}=\emptyset$;
2. будь-яка лінійно впорядкована множина; причому якщо $a\leqslant b$, то $\sup(a,b)=b,\inf(a,b)=a$;
3. множина всіх підпросторів векторного простору, упорядкованих за включенням, де $\inf$ — перетин, а $\sup$ — сума відповідних підпросторів;
4. множина всіх невід'ємних цілих чисел, упорядкованих за подільністю: $a\leqslant b$, якщо $b=ac$ для деякого $c$. Тут $\sup$ — найменше спільне кратне, а $\inf$ — найбільший спільний дільник даних чисел;
5. дійсні функції, визначені на проміжку [0, 1], впорядковані умовою $f\leqslant g$, якщо $f(t)\leqslant g(t)$ для всіх $t\in [0,1]$. тут

$\sup(f,g)=u$, де $u(t)=\max(f(t),g(t))$.

Частковий порядок

На ґратці також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та задовільняє умовам:

• x≤x (рефлексивність)
• якщо x≤y та y≤x, то x=y (антисиметричність)
• якщо x≤y та y≤z, то x≤z (транзитивність)

Зв'язок між різними визначеннями встановлюється формулами:

a ∨ b = sup{a, b}, a ∧ b = inf{a, b}.

Та виконанням умови: якщо a ≤ b, то: a ∧ b = a, a ∨ b = b.

Теорема Стоуна

• Ґратка є дистрибутивною тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому кільцю множин.
• Ґратка є булевою алгеброю тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому полю множин.

Див. також

• Ґратка з діленням
• Ґратка (геометрія)
• Задачі теорії ґраток

Джерела

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), group Lattice-ordered group, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Lattice(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
• Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970.
• Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1982. — 456 с.