Права порядкова топологія

Пра́ва поря́дкова тополо́гія — топологія на лінійно впорядкованій множині $X$ , породжена множинами вигляду $S_{a}$ = { $x$ ∈ $X$ | $x$ > $a$ }, $a$ ∈ $X$ .

Визначення

Якщо $X$ — лінійно впорядкована множина, тоді топологія, породжена базисними множинами вигляду $S_{a}=\{x\in X|x>a\},\ a\in X$ , називається правою порядковою топологією на $X$ . Ліва порядкова топологія визначається аналогічним чином, використовуючи множини $P_{a}=\{x\in X|x<a\},\ a\in X$ .

Властивості

Для будь-якої точки $a\in X$ кожен елемент $x<a$ є граничною точкою для $\{a\}$ , звідки замикання будь-якої непорожньої відкритої множини є весь простір $X$ , і кожна права порядкова топологія є слабко зліченно компактною.
$X$ є гіперзв’язним і ультразв’язним, а отже лінійно зв’язним, локально зв’язним та псевдокомпактним.
$X$ локально компактний, але він є компактним тоді і тільки тоді, коли він містить перший елемент. Але оскільки замикання будь-якої відкритої множини є весь простір, то $X$ є сильно локально компактним тоді і тільки тоді, коли $X$ компактний.
Якщо $x$ < $y$ , тоді $S_{x}$ є відкритим околом $y$ , який не містить $x$ . Звідси $X$ є $T_{0}$ -простором, але не $T_{1}$ -простором. Таким чином, він не є $T_{2}$ , $T_{3}$ чи $T_{3{\frac {1}{2}}}$ -простором. Але $X$ є $T_{4}$ і $T_{5}$ -простором.
$X$ не є досконалим $T_{4}$ -простором, оскільки єдина відкрита множина, яка містить будь-яку замкнену множину, є $X$ .
Особливим випадком є права порядкова топологія на множині $\mathbb {R}$ всіх дійсних чисел. Позначимо цей простір $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ . Тоді $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ задовольняє другу аксіому зліченності, оскільки $\{S_{r}\}_{r\in Q}$ є зліченною базою для ${\mathcal {T}}$ . Таким чином, $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ ліндельофів, і тому не зліченно компактний, оскільки не є компактним. Але оскільки $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ є і локально компактним, і ліндельофовим, він $\sigma$ -компактний.
Кожна множина $P_{r}=\{x\in R|x<r\}$ є ніде не щільною в $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ , тому $\mathbb {R}$ , який дорівнює $\cup P_{r}$ , є простором першої категорії. Але кожна $P_{r}$ є щільною в собі.
Відкрите покриття $\{S_{n},n\in \mathbb {Z} \}$ простору $\mathbb {R}$ , не має точково скінченного вписаного покриття, тому $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ не є зліченно метакомпактним.
Будь-яка скінченна множина в $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ має безліч граничних точок, але не $\omega$ -граничних точок (точок накопичення). Таким чином, якщо ми додамо до скінченної множини її $\omega$ -граничні точки, ми не отримаємо замкнену множину.

Див. також

Література

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (приклади 49, 50)