Неперервна справа функція з лівосторонніми границями

Функції розподілу випадкової величини є прикладами càdlàg функцій

В математиці, càdlàg (фр. continu à droite, limite à gauche, або англійською RCLL або англ. “right continuous with left limits”) функція або Неперервна справа функція з лівосторонніми границями (НСФзЛГ) — це функція визначена на дійсній осі (або її підмножині), всюди неперервна справа і має лівосторонні границі в кожній точці. Càdlàg функції є дуже важливими у вивченні стохастичних процесів з стрибками, на відміну від Вінерівського процесу який має неперервні траєкторії. Клас неперервних справа функцій з лівосторонніми границями (càdlàg функції) утворюють простір Скорохода.

ОзначенняРедагувати

Нехай (M, d)метричний простір, і ER. Функція ƒ: EM називається неперервною справа функцією з лівосторонніми границями (або càdlàg функцією) якщо, для всіх tE,

Тобто, ƒ — неперервна справа з лівосторонніми границями[1].

ПрикладиРедагувати

Простір СкороходаРедагувати

Множина усіх càdlàg функцій ƒ: EM часто позначається як D(E; M) (або просто D) і називається Простір Скорохода на честь українського математика Анатолія Скорохода. Простору Скорохода може бути поставлена у відповідність топологія, яка дозволяє нам інтуітивно "трохи збурювати простір і час" (тоді як традиційна топологія з рівномірною збіжністю дозволяє лише "трохи збурювати простір"). Для спрощення візьмемо E = [0, T] та M = Rn — дивись у Billingsley більш загальну конструкцію.

З початку треба визначити аналог модуля неперервності, ϖ′ƒ(δ). Для будь-якого FE визначимо

 

і для δ > 0 визначимо càdlàg modulus як

 

де infimum береться по всім розподілам Π = {0 = t0 < t1 < … < tk = T}, kN з mini (ti − ti−1) > δ. Таке визначення дає сенс для non-càdlàg ƒ (тоді як звичайний модуль неперевності дає сенс для розривних функцій) і можна показати, що ƒ є càdlàg тоді і тільки тоді ϖ′ƒ(δ) → 0 коли δ → 0.

Позначимо Λ множину усіх строго зростаючих, неперервних бієкцій з E в себе (це є "збурення часу"). Нехай

 

позначає однорідну норму функцій на E. Визначимо метрику Скорохода σ на D так

 

де I: EE є індикаторною функцією. В термінах інтуітивного "збурення" ||λ − I|| вимірює розмір "збурення в часі", а ||ƒ − g○λ|| вимірює розмір "збурення в просторі".

Можна показати, що метрика Скорохода є дійсно метрикою. Топологія Σ, що генерується σ називається топологією Скорохода на D.

Властивості простору СкороходаРедагувати

Узагальнення однорідної торологіїРедагувати

Простір C неперевних функцій на E є підпростором D. Топологія Скорохода, яка зв'язується з простором C, збігається з однорідною топологією на ньому.

ПовнотаРедагувати

Можна показати, що хоча D не є повним простором по точки зору метрики Скорохода σ, існує топологічно еквівалентна метрика σ0 з якою D є повним.[2]

СепарабельністьРедагувати

Якщо σ або σ0, то D є сепарабельним простором. Тоді простір Скорохода є польським простором.

Щільність простору СкороходаРедагувати

Застосовуючи теорему Арцела-Асколі, можна показати, що послідовність (μn)n=1,2,… ймовірнісних мір на просторі Скорохода D є щільною тоді і лише тоді, коли виконуються наступні дві умови:

 

та

 

Алгебраїчна та топологічна структураРедагувати

При топології Скорохода та поточковому складанні функцій D не є топологічною групою. Це видно з наступного прикладу:

Нехай   одиничний интервал, а   послідовність характеристичних функцій. Не дивлячись на те, що   в топології Скорохода, послідовність   не збігається до 0.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  1. Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х Перевірте значення |isbn= (довідка). 
  2. Convergence of probability measures - Billingsley 1999, p. 125
  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.