Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду:

де ,

де x є невідомою змінною, а a, b, і c є сталими відомими числами, такими що a не дорівнює нулю 0. Якщо a = 0, тоді рівняння буде лінійним, а не квадратним рівнянням. Числа a, b, і c є коефіцієнтами рівняння, і аби розрізнити їх можна називати відповідно, квадратичним коефіцієнтом, лінійний коефіцієнтом і вільною сталою.[1]

Квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою процедури розкладання на множники, методу виділення квадрата, за допомогою побудови графіка функції, або з використанням наступної формули, що є загальним розв'язком цього рівняння:

Рішення задачі, еквівалентної квадратному рівнянню були відомі ще в 2000 році до нашої ери.

Перші згадки

ред.
Стародавній Вавилон

Уже в другому тисячолітті до нашої ери вавилоняни знали, як розв'язувати квадратні рівняння. Розв'язання їх в Стародавньому Вавилоні було тісно пов'язане з практичними завданнями, в основному такими, як обчислення площі земельних ділянок, земельні роботи, пов'язані з військовими потребами; наявність цих знань також обумовлена розвитком математики та астрономії взагалі. Були відомі способи розв'язання як повних, так і неповних квадратних рівнянь.

Наведемо приклад квадратного рівняння, які розв'язувалися в Стародавньому Вавилоні, використовуючи сучасний алгебраїчний запис:

 

Правила розв'язування квадратних рівнянь багато в чому аналогічні сучасним, проте в вавилонських текстах не зафіксовано міркування, шляхом яких ці правила були отримані.

Загальні відомості

ред.

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа   — його коефіцієнти, при чому   також називається першим коефіцієнтом,   — другим,   — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має

  • або два різних дійсних корені,
  • або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
  • або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як   та   або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то   В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення:   і  .)

Неповні квадратні рівняння

ред.

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо  , то   перетворюється у лінійне рівняння  . Якщо хоч один коефіцієнт   або   дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним.

Розв'язування неповних квадратних рівнянь

ред.
  •   рівносильне рівнянню   і тому завжди має тільки один корінь  .
  •   розв'язується винесенням за дужки  :  . Таке рівняння має два корені:  
  •   рівносильне рівнянню  . Якщо  , воно має два дійсних розв'язки, якщо   — жодного дійсного.

Зведені квадратні рівняння

ред.

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці  . Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на  :

 

Повне квадратне рівняння

ред.

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів   не дорівнює нулю.

Виділення квадрату

ред.

Для зведеного квадратного рівняння

 

використаємо формулу скороченого множення про квадрат суми, щоб позбутись доданка з першим степенем:

 

Дискримінант

ред.
Докладніше: Дискримінант

Оскільки   то кількість коренів залежить тільки від знаку чисельника правої частини

 

який називають дискриміна́нтом (лат. diskriminans — розрізняючий), та позначають латинською літерою  .

Формула

ред.

Якщо  , то квадратне рівняння рівносильне рівнянню  , звідки

 

або

 

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед  . Коротко ці корені записують так:

 , де  

Якщо  , то  , звідки   — єдиний корінь (точніше — два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

 

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

  де : 
Приклад:
 
     
 
У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед  
 
 

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння   і позначимо   через   а   через   Тоді воно матиме такий вигляд:

 

отже за теоремою Вієта:

 
 

Доведення

ред.

Якщо рівняння   має корені   і   то їх можна знаходити за формулами:

  і  

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

 
 

Теорема обернена до теореми Вієта

ред.

Якщо сума і добуток чисел   і   дорівнюють відповідно   і  , то   і   — корені рівняння  

Використання теореми Вієта та оберненої до неї

ред.

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

 

Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)

 

Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:

 

Інші методи розв'язування

ред.

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в пригоді у деяких окремих випадках. Так, наприклад, формулу

 

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

 

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при  . Тобто у випадку відсутності вільного члена з її допомогою не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

 
 

де   — sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія

ред.
 
Графік функції y = x2 − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x2 − x − 2 = 0

Корені рівняння

 

є також нулями функції

 

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли  , графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Факторизація

ред.

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
 , де   — корені цього рівняння.

Доповнення до квадрата

ред.

В процесі доповнення до квадрата використовують алгебраїчне рівняння

 

яке визначає чітко визначений алгоритм, який можна використати для розв'язку квадратного рівняння.[2] Розпочнемо із квадратного рівняння наступної форми, ax2 + bx + c = 0

  1. Розділимо кожну його частину на a, коефіцієнт при квадратному члені рівняння.
  2. Віднімемо сталу c/a з обох частин рівняння.
  3. Додайте квадрат половини значення b/a, коефіцієнта при x, до обох частин рівняння. Це «доповнює квадрат», перетворюючи ліву частину у ідеальний квадрат.
  4. Перепишіть ліву частину у вигляді квадрата і спростіть праву частину при необхідності.
  5. Отримаємо два лінійні рівняння прирівнявши квадратний корінь у лівій частині із додатнім і від'ємним квадратним коренями правої частини.
  6. Знайдемо розв'язок двох лінійних рівнянь.

Наведемо приклад роботи алгоритма, розв'язавши рівняння 2x2 + 4x − 4 = 0

 
 
 
 
 
 

Подвійний знак плюс-мінус «±» означає, що обидва варіанти x = −1 + 3 і x = −1 − 3 є розв'язками квадратного рівняння.[3]

Рівняння, що зводяться до квадратних

ред.

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду  , зробивши заміну  . Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

 

Зробимо заміну  :

 

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

 
 

Маючи значення   легко знайти корені початкового рівняння:

 
 

Приклади і застосування

ред.
 
Траєкторія польоту при стрибанні з кручі у воду параболічна, оскільки горизонтальне переміщення є лінійною функцією від часу  , а вертикальне переміщення є квадратичною функцією від часу  . В результаті, шлях буде задаватися квадратним рівнянням  , де   і   — горизонтальна і вертикальна компоненти початкової швидкості, a є гравітаційним прискоренням, а h є початковою висотою. Значення a слід задавати від'ємним, оскільки напрям падіння (вниз) є протилежним до вимірювання висоти (вгору).

Золотий перетин можна знайти як додатній розв'язок квадратного рівняння  .

Рівняння кола і інших конічних перетинів — еліпса, параболи, і гіперболи — є квадратними рівняннями двох змінних.

При відомому косинусі або синусі кута, знайти косинус або синус половини цього кута можна за допомогою вирішення квадратного рівняння.

Теорема Декарта стверджує, що для будь-яких чотирьох взаємно дотичних кіл, їх радіуси задовольнятимуть певному квадратному рівнянню.

Теоремою Фаусса визначається рівняння, яке задає співвідношення між радіусом кола вписаного в біцентричний чотирикутник і радіусом описаного кола та відстанню між центрами цих кіл. Рівняння можна представити у вигляді квадратного рівняння, в якому розв'язком буде відстань між двома центрами кіл із заданими радіусами. Іншим розв'язком того ж рівняння, при відповідних радіусах дасть відстань між центрами описаного кола і зовнішнього кола зовні-описаного чотирикутника.

Історія

ред.
Стародавня Греція

У стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язування повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Індія

Завдання, які розв'язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», написаним індійським астрономом і математиком Аріабхатою І в 499 році нашої ери. Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому Брамагупті (близько 598 р.) [1]; Брамагупта виклав універсальне правило розв'язування квадратного рівняння, зведеного до канонічного вигляду:  причому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім  , можуть бути від'ємними. Сформульоване вченим правило по своїй суті збігається з сучасним.

Аль-Хорезмі описав алгоритм знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

Європа

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Protters & Morrey: « Calculus and Analytic Geometry. First Course»
  2. Washington, Allyn J. (2000). Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition. Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 0-201-35666-X.
  3. Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, с. 219, ISBN 978-0-470-55964-2, архів оригіналу за 8 Лютого 2021, процитовано 14 Липня 2018

Джерела

ред.

Посилання

ред.