Двовимірні гіперкомплексні числагіперкомплексні числа з однією уявною одиницею.

Тобто числа виду де дійсні числа;  — уявна одиниця.

Визначимо операції:

  • — спряжене число,
  • норма числа,
  • — ділення чисел.


Формальне визначення

ред.

Двовимірні гіперкомплексі числа — двовимірні алгебри з одиницею над полем дійсних чисел.

Підвиди

ред.

Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд  

  •   — додавання,
  •   — множення буде комутативним.

Залишилось тільки визначити, чому буде дорівнювати  

Оскільки система має бути замкнута, то можемо позначити:  

Розв'язуватимемо квадратне рівняння так, щоб зліва був повний квадрат, а справа тільки дійсна частина:  

В залежності від знака правої частини отримаємо:  

Множення

ред.

Отже, в залежності від випадку, замінивши   на одну з одиниць   отримаємо:

  •  комплексні числа,
  •  подвійні числа,
  •  дуальні числа.

Норма

ред.
  •  

Для всіх підвидів виконується

  •  
  •  

Ділення

ред.
  •  дільників нуля немає;
  •   — існують дільники нуля виду  
  •   — існують дільники нуля виду  

Матричне представлення

ред.

Кожній з уявних одиниць можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2*2 яка є квадратним коренем  ,   та   відповідно, і в неї нулі на головній діагоналі.

Зазвичай для   вибирають одиничну матрицю, матрицю повороту на   та матриці Паулі  :

 

Відповідно:

 

Така відповідність задає ізоморфізм, якщо додаванню та множенню гіперкомплексних чисел поставити у відповідність додавання та множення матриць.

В такому представлені:

Див. також

ред.

Джерела

ред.
  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)