Відкрити головне меню

Групи симетрії

група всіх рухів, для яких даний об'єкт є інваріантом
(Перенаправлено з Група симетрій)

Група симетрії (також група симетрій) деякого об'єкта (багатогранника або множини точок метричного простору) ― група всіх рухів, для яких даний об'єкт є інваріантом, з композицією в якості групової операції. Як правило, розглядаються множини точок n-вимірного евклідового простору і рухи цього простору, але поняття групи симетрії зберігає свій сенс і в більш загальних випадках.

ПрикладиРедагувати

  • Група симетрії відрізка в одновимірному просторі містить два елементи: тотожне перетворення і відбиття відносно середини відрізка. Але в двовимірному евклідовому просторі існує вже 4 рухи, що переводять заданий відрізок у себе. У тривимірному просторі відрізок володіє нескінченною множиною симетрій (елементами групи симетрії будуть, зокрема, повороти на довільний кут навколо прямої, що містить цей відрізок).
  • Група симетрії рівностороннього трикутника на площині складається з тотожного перетворення, поворотів на кути 120° і 240° навколо центру трикутника і відбиттів щодо його висот. В цьому випадку група симетрії складається з 6 перетворень, які здійснюють всі можливі перестановки вершин трикутника. Отже, ця група ізоморфна симетричній групі S3. Однак група симетрії квадрата має порядок 8, а симетрична група S4 ізоморфна групі симетрії правильного тетраедра.
  • Група симетрії різнобічного трикутника тривіальна, тобто складається з одного елемента ― тотожного перетворення.
  • Якщо вважати, що людське тіло дзеркально симетричне, то його група симетрії складається з двох елементів: тотожного перетворення і відбиття відносно площини, яка поділяє тіло на симетричні одна одній праву і ліву частини.
  • Довільне періодичне замощення площини (або орнамент[ru][1]) має групу симетрії, елементи якої усіма можливими способами суміщують певний фіксований елемент замощення з кожним конгруентним йому елементом. Це частковий (двовимірний) випадок кристалографічних груп, про які сказано далі.
  • Групи симетрії решіток. В різних галузях математики використовуються різні поняття решітки. Зокрема:
    • У фізиці твердого тіла і теорії кристалографічних груп кристалічна решітка — це множина точок афінного простору, що має трансляційну симетрію. Симетрії цієї множини повинні зберігати відстань між точками, тобто бути рухами. Група цих рухів — це кристалографічна група (або сюр'єктивно гомоморфно відображається в кристалографічну групу)[2].
    • В теорії груп ґратка[ru] — це група, ізоморфная  з білінійною формою на ній (у тривимірному евклідовому просторі відповідає Ґратці Браве з теорії кристалографічних груп з виділеним початком координат). Симетрії такої ґратки повинні бути автоморфізмами групи. Група таких автоморфізмів, на відміну від кристалографічної групи, скінченна, якщо білінійна форма ґратки відповідає евклідовому простору[3].

КласифікаціяРедагувати

Ниже вважається, що для кожної точки   множина образів  , де   — група симетрії, топологічно замкнута.

Одновимірний простірРедагувати

Кожен рух одновимірного простору є або перенесенням всіх точок прямої на деяку фіксовану відстань, або відбиттям відносно деякої точки. Множина точок одновимірного простору має одну з таких груп симетрії:

  • тривіальна група; C1;
  • група, що складається з тотожного перетворення і відбиття відносно точки (ізоморфна циклічній групі C2);
  • нескінченні групи, що складаються із степенів деякого перенесення (ізоморфна нескінченній циклічній групі);
  • нескінченні групи, для яких твірними є деяке перенесення і відбиття відносно деякої точки;
  • група всіх перенесень (ізоморфна адитивній групі дійсних чисел);
  • група всіх перенесень і відбиттів відносно кожної точки прямої.

Двовимірний простірРедагувати

У двовимірному випадку групи симетрії поділяються на такі класи:

Тривимірний простірРедагувати

Перелік скінченних груп симетрії складається з 7 нескінченних серій і 7 випадків, що розглядаються окремо. У цей перелік входять 32 точкові кристалографічні групи і групи симетрії правильних багатогранників.

Неперервні групи симетрії включають:

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. У математиці замощення простору називається мозаїкою або паркетом
  2. Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Heat Kernels and Analysis on Manifolds, Graphs, and Metric Spaces. — AMS, 2003. — P. 288. — ISBN 0-8218-3383-9.
  3. J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, Inc., 1999. — P. 90. — ISBN 0-387-98585-9.

ЛітератураРедагувати