Точкова група

Точкова група — група геометричних симетрій (ізометрій), що залишають одну точку фіксованою.

Огляд ред.

Точкові груп можуть існувати в Евклідовому просторі будь-якої вимірності. Дискретна точкова група в двовимірному просторі, інакше розеткова група, описує симетрію орнаменту. Точкові групи в тривимірному просторі широко використовуються в хімії, особливо для описання симетрій молекули, молекулярних орбіт, які утворюють ковалентні зв'язкі, в цьому контексті вони також називаються молекулярні точкові групи.

Існує нескінченна кількість точкових груп у кожному вимірі. Однак, crystallographic restriction theorem показує, що серед них лиш скінченна кількість сумісна з трансляційною симетрією. В 1D їх 2, в 2D 10, і в 3D 32 таких групи, званих кристалічними класами.

Квітка орхідеї на прапорі Гонконга має симетрію C₅; зірочка на кожній пелюстці має симетрію D₅.

У двох вимірах ред.

Точкові групи в 2D потрапляють в одну з двох різних родин, згідно з тим чи містять вони тільки обертання, або ще й відбиття. Циклічні групи, C_n (абстрактний тип групи Z_n), утворений обертаннями на 360°/n, і кратними йому. Наприклад, стілець з чотирма ніжками має групу симетрій C₄, утворену обертаннями на 0°, 90°, 180° і 270°. Група симетрій квадрата належить до сімейства дігедральних груп, D_n (абстрактний тип групи Dih_n), і містить як обертання так і відбиття. Нескінченна обертальна симетричність кола має на увазі також і відбиття, але формально кільцева група S₁ відрізняється від Dih(S₁), бо остання явно включає відбиття.

C_n і D_n для n = 1, 2, 3, 4 і 6 можуть бути поєднані з трансляційною симетрією, іноді більш ніж в одін спосіб. Тож ці 10 груп зростають до 17 груп симетрій на площині.

Узагальнення ред.

У будь-якому вимірі d, неперевна група всіх ізометрій із фіксованою точкою це ортогональна група, позначається як O(d); і її неперевні підгрупи всіх можливих обертань це особлива ортогональна група, позначається як SO(d). Це не запис Шенфліса, тим не менш це загальноприйняте іменування з теорії Група Лі.

Див. також ред.

Посилання ред.

Вебпосібник з точкових груп (потребує Java і Flash) (англ.)
Вивчання та розбір точкових симетрій (потребує Java)