Діедрична група

(Перенаправлено з Дігедральна група)

В математиці, діедрична група це група симетрій правильного многокутника, яка включає обертання та відбиття.[1] Діедрична група один з найпростіших прикладів скінченних груп, і вони відіграють важливу роль в теорії груп, геометрії та хімії.

Ця сніжинка має діедричну симетрію правильного шестикутника

Види запису

ред.

Існують два види запису діедричних груп пов'язаних із многокутником з n сторонами. У геометрії група записується Dn, тоді як алгебрі та сама група позначається D2n з метою вказання кількості елементів.

У цій статті, Dn (і іноді Dihn) посилається на симетрії правильного многокутника з n сторонами.

Визначення

ред.

Елементи

ред.
 
Шість осьових симетрій правильного шестикутника

Правильний многокутник з n сторонами має 2n різних симетрій: n обертальних симетрій і n осьових симетрій. Пов'язані обертання і відбиття утворюють діедричну групу Dn. Якщо n непарне, тоді кожна вісь симетрії поєднує середину сторони і протилежну вершину. Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, які поєднують протилежні вершини. Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із подальшим відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями. На малюнку показано 16 елементів групи D8 для знака «STOP»:

 

Перший рядок показує результат восьми обертань, другий — восьми відбиттів.

Структура групи

ред.

Як і з багатьма геометричними об'єктами, композиція двох симетрій правильного многокутника є симетрією. Ця операція надає симетріям алгебраїчну структуру скінченної групи.

 
 
Поєднання двох відбиттів дає обертання

Наступна таблиця Келі показує наслідки поєднань в групі D3 (симетрій правильного трикутника). R0 позначає тотжність; R1 і R2 позначають обертання на 120 і 240 градусів проти (руху) годинникової стрілки; і S0, S1, і S2 позначають відбиття через три лінії показані на малюнку праворуч.

R0 R1 R2 S0 S1 S2
R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2
R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0
R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1
S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1
S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2
S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0

Наприклад, S2S1 = R1 бо відбиття S1 із наступним відбиттям S2 утворюють обертання на 120 градусів. (Це звичайний зворотний порядок композиції.) Композиція операцій не комутативна.

Загалом, група Dn має елементи R0,...,Rn−1 і S0,...,Sn−1, з композиціями заданими такими формулами:

 

В усіх випадках, додавання і віднімання індексів повинно виконуватись із використанням модульної арифметики з модулем n.

Матричне представлення

ред.
 
Симетрії п'ятикутника є лінійними відображеннями.

Якщо ми відцентруємо правильний многокутник в початку координат, тоді елементи діедричної групи діють як лінійні перетворення площини. Це дозволяє представити елементи Dn у вигляді матриць, тоді композиція буде добутком матриць. Це приклад (2-вимірного) представлення групи.

Наприклад, елементи групи D4 можуть бути представлені такими вісьмома матрицями:

 

Загалом, матрицями для елементів з Dn мають такий вигляд:

 

Rk — матриця повороту, яка уособлює обертання проти годинникової стрілки на кут 2πkn. Sk — відбиття через лінію утворену кутом πkn з віссю x.

Малі діедричні групи

ред.
 
Циклічний граф Dih4
a — поворот за годинниковою стрілкою
і b — горизонтальне відбиття.

Для n = 1 ми маємо Dih1. Такий запис рідко використовується, хіба для рядів, по це дорівнює Z2. Для n = 2 маємо Dih2, 4-група Клейна. Це два винятки з усієї серії:

Циклічні графи діедричних груп містять n-елементний цикл і n 2-елементних циклів. Темна вершина в циклічних графах різних діедричних груп знизу вказує на тотожний елемент, а інші вершини це інші елементи групи. Цикл містить послідовні ступені елементів зв'язаних з нейтральним елементом.

Циклічні графи
Dih1 = Z2 Dih2 = Z22 = K4 Dih3 Dih4 Dih5
         
       
Dih6 = Dih3×Z2 Dih7 Dih8 Dih9 Dih10 = Dih5×Z2

Див. також

ред.

Література

ред.

Українською

ред.
  • (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

ред.
  1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.