Група Галуа

Група Галуа — група автоморфізмів розширення Галуа L/K, тобто група, що складається з усіх автоморфізмів поля L, що залишають всі елементи підполя K нерухомими.

Група Галуа позначається G(L/K) або Gal(L/K).

Властивості

Поле інваріантів L^Gal(L/K) збігається з полем K. Якщо L — поле розкладу многочлена f(x) над полем K, то група Галуа G(L/K) називається також групою Галуа многочлена f(x). Ці групи відіграють важливу роль у теорії Галуа алгебраїчних рівнянь. Обчислення групи Галуа для розширень полів алгебраїчних чисел є одним з основних завдань алгебраїчної теорії чисел. Групи Галуа полів алгебраїчних функцій вивчаються в алгебраїчній геометрії.

Якщо L — поле і G — скінченна підгрупа групи автоморфізмів поля L, то L є розширенням Галуа поля інваріантів K=L^G, Група Галуа цього розширення ізоморфна G; при цьому степінь розширення [L: k] дорівнює порядку групи G. Фундаментальним результатом про групи Галуа є наступна теорема, що іноді називається основною теоремою теорії Галуа:

Якщо L — скінченне розширення Галуа, то існує взаємно однозначна відповідність між всіма підгрупами групи Галуа Gal(L/K) і всіма підполями F поля L, що містять K, причому відповідні один одному Н і F такі, що F — поле інваріантів Н, а Н — група Галуа L/F .

Ця теорема має численні аналоги в багатьох математичних теоріях, так існує її узагальнення на випадок розширень нескінченного ступеня. Є узагальнення поняття Група Галуа на випадок розширень довільних комутативних кілець і навіть схем, а також на випадок розширень тіл.

Приклади

• $\operatorname {Gal} (F/F)\,$ є тривіальною групою (єдиним елементом є одиничний автоморфізм).
• $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ має два елементи, одиничний автоморфізм і комплексне спряження.
• $\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ має два елементи, одиничний автоморфізм і автоморфізм, що одержується перестановкою √2 і −√2.
• Нехай $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )$, де ω — первісний корінь з одиниці. Група Gal(L/Q) ізоморфна S₃ — дігедральній групі порядку 6. L є полем розкладу многочлена x³ − 2 над $\mathbb {Q}$.

В даних прикладах $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ позначають поля раціональних, дійсних і комплексних чисел.

Джерела

• Николайчук, Ярослав Миколайович (2012). Коди поля Галуа : теорія та застосування. Тернограф. с. 576. ISBN 978-966-457-135-4. Архів оригіналу за 19 грудня 2021. Процитовано 19 грудня 2021.
• Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
• Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861.