Відкриті математичні питання

Нерозв'язані пробле́ми (або Відкриті проблеми) — гіпотези, що видаються вірними, але дотепер не доведені.

У науковому світі популярна практика складання відомими вченими або організаціями списків відкритих проблем, актуальних на сучасний момент. Зокрема, відомими списки математичних проблем є: Проблеми Гільберта, Проблеми Ландау, Проблеми тисячоліття та Велика Теорема Ситника. Згодом опубліковані проблеми з такого списку можуть бути розв'язані і, таким чином, втратити статус відкритих. Наприклад, більшість із проблем Гільберта, представлених ним у 1900 році, тепер так чи інакше розв'язані.

Теорія чисел

Гіпотези про прості числа

Сильна гіпотеза Гольдбаха. Кожне парне число, більше 2, можна представити у виді суми двох простих чисел.
Слабка гіпотеза Гольдбаха. Кожне непарне число, більше 5, можна представити у виді суми трьох простих чисел (доведена для всіх досить великих непарних чисел).
Відкритим є питання нескінченності кількості простих чисел у кожній з таких послідовностей:

Послідовність	Назва
$2^{n}-1$	число Мерсенна
$n^{2}+1$	4-а проблема Ландау
$n\cdot 2^{n}+1$	числа Каллена
$2^{2^{n}}+1$	числа Ферма
$F_{n}$	числа Фібоначчі
пари (n, n+2)	прості числа-близнюки
пари (n, 2n+1)	прості числа Софі Жермен

Гіпотеза Ердеша. Чи правда, що якщо сума обернених величин для деякої множини натуральних чисел розбіжна, то в цій множині можна знайти як завгодно довгі арифметичні прогресії?

Гіпотези про досконалі числа

Не існує непарних досконалих чисел.
Існує нескінченна кількість досконалих чисел.

Гіпотези про дружні числа

Не існує взаємно простих дружніх чисел.
Будь-яка пара дружніх чисел має однакову парність.

Інші гіпотези

Злегка надлишкових чисел не існує.
Паралелепіпеда з трьома цілочисловими ребрами і чотирма цілочисловими діагоналями не існує.
Гіпотеза Коллатца (гіпотеза 3n+1).
Гіпотеза Сінгмастера. Позначимо через $N(a)$ кількість разів, що натуральне число $a$ , більше одиниці, зустрічається в трикутнику Паскаля. Девід Сінгмастер показав, що $N(a)=O(\ln a)$ , що було покращено до $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{-3}\ln a)$ . Чи вірно більш сильне твердження $N(a)=O(1)$ ?

Геометрія

У задачі про переміщення канапи не доведена максимальність найкращої оцінки знизу (константи Гервера).
Задача про 9 кіл. Не існує 9 кіл, таких, що кожні два перетинаються, і центр кожного кола лежить поза іншими колами. (Час виконання алгоритму перевірки — занадто великий)
Гіпотеза Тепліца. Многокутник P вписаний в криву Жордана C, якщо всі вершини P належать C. Чи можна на кожній кривій Жордана відшукати вписаний квадрат?

Алгебра

Зворотна теорема теорії Галуа. Для будь-якої скінченної групи H існують поля F і G, такі, що G є розширенням F і Gal(G/F) ізоморфна H.
Будь-яка скінченнопредставлена група, кожен елемент якої має скінченний порядок, — скінченна.

Для скінченнопородженої групи (більш слабка умова) це неправильно.^[1]

Аналіз

Стала Ейлера-Маскероні — ірраціональна.
Числа $e+\pi$ і $e\pi$ — ірраціональні.
Гіпотеза Рімана. Усі нетривіальні нулі дзета-функції лежать на прямій Re(z)=½.
Дотепер нічого не відомо про нормальність таких чисел, як $\pi$ і $e$

Комбінаторика

Існування матриці Адамара порядку, кратного 4.
Існування скінченної проективної площини будь-якого натурального порядку.
Гіпотеза Кацети-Хагвіста.
Невідомо кількість обходів шахівниці конем.

Аксіоматична теорія множин

У даний час найбільш розповсюдженою аксіоматичною теорією множин є ZFC — теорія Цермело — Френкеля з аксіомою вибору. Питання про несуперечність цієї теорії (а тим більше — про існування моделі для неї) залишається нерозв'язаним.

Обчислювальна математика

Визначити граничний рівень апроксимації n-стадійного методу Рунге-Кутти (1-стадійний = метод Ейлера = O(h), 2-стадійний = модифікований метод Ейлера = O(h²), 4-стадійний = класичний метод Рунге-Кутти = O(h^4), 5-стадійний = метод Фельберга = теж O(h^4)).

Відомі проблеми, недавно розв'язані

Див. також

Примітки

↑ http://arxiv.org/abs/math.GR/0607384 Rostislav Grigorchuk and Igor Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners arXiv

Література

Станислав Мартин Улам. Нерешённые математические задачи = A Collection of Mathematical Problems / Перевод с английского З. Я. Шапиро. — Москва : «Наука», 1964. — 168 с. — (Современные проблемы математики) — 12 000 прим. (рос.)

Посилання

Open Problem Garden [Архівовано 10 березня 2010 у Wayback Machine.](англ.)

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

[1] ttp://arxiv.org/abs/math.GR/0607384 Rostislav Grigorchuk and Igor Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners arXiv

[1]