Матриці Адамара

Ма́триці Адама́ра — в математиці, це ортогональні квадратні матриці, елементи яких можуть приймати значення тільки (+1) та (-1). Названі на честь французького математика Жака Адамара.

Такі матриці застосовуваться в алгоритмах корегування помилок (коди Адамара, коди Ріда-Мюллера).

Недоведена гіпотеза Адамара стверджує, що матриця Адамара порядку 4k існує для кожного натурального числа k.

Властивості

• Матриця Адамара H порядку n задовільняє рівнянню:

$H^{\mathrm {T} }H=nI\$

де I — одинична матриця розміру n.

• Отже

$\ \det H=\pm \;n^{n/2}$.

• Розмір матриць Адамара може бути 1, 2 чи бути кратним 4.

• Будь-які 2 довільні стовпці чи рядки мають рівно половину пар елементів, що збігаються.

Процедура побудови Сильвестра

Одним з способів побудови матриць Адамара великих розмірностей є рекурсивна процедура Сильвестра. Якщо H — матриця Адамара розміру n. Тоді

${\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}$ є матрицею Адамара порядку 2n.

$H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\quad H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\quad H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},\quad ...\quad H_{2^{k+1}}={\begin{bmatrix}H_{2^{k}}&H_{2^{k}}\\H_{2^{k}}&-H_{2^{k}}\end{bmatrix}}=H_{2}\otimes H_{2^{k}},$

де $\ k\in N$, а $\otimes$ означає добуток Кронекера.

Зокрема,

${\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$.

Такі матриці мають додаткові властивості:

• матриці є симетричними;
• слід матриці дорівнює нулю;
• всі елементи першого рядка і першого стовпця додатні, тобто дорівнюють (+1).
• всі інші рядки і стовпці мають порівну від'ємних і додатних елементів.

Такі матриці, а також матриці з переставленими рядками/стовпцями таким чином, щоб:

1. матриця залишалась симетричною
2. кількість змін знаків стовпцях наростала зліва направо

ще називаються матрицями Уолша.

$W_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}}$

Див. також

• Побудова Пелі
• Регулярна матриця Адамара

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)