Гіпотеза Коллатца

Гіпотеза Коллатца (гіпотеза 3n+1, гіпотеза 3x+1, проблема Коллатца, проблема 3n+1, проблема 3x+1, Сіракузька проблема) — одна з нерозв'язаних проблем математики, названа на честь німецького математика Лотара Коллатца, який запропонував її у 1937 році.

Сіракузька послідовність ред.

Для пояснення суті гіпотези розглянемо наступну послідовність чисел, яка називається Сіракузькою послідовністю. Беремо будь-яке натуральне число n. Якщо воно парне, то ділимо його на 2, а якщо непарне, то множимо на 3 і додаємо 1 (отримуємо 3n + 1). Над отриманим числом виконуємо ті ж самі дії, і так далі.

Графік послідовності для числа 27

Наприклад, для числа 3 отримуємо:

3 — непарне, 3 × 3 + 1 = 10

10 — парне, 10:2 = 5

5 — непарне, 5 × 3 + 1 = 16

16 — парне, 16:2 = 8

8 — парне, 8:2 = 4

4 — парне, 4:2 = 2

2 — парне, 2:2 = 1

1 — непарне, 1 × 3 + 1 = 4

Очевидно, що, починаючи з 1, починають циклічно повторюватися числа 1, 4, 2.

Для числа 27 маємо : 27, 82, 41, 124 , 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …

Послідовність прийшла до одиниці тільки через 111 кроків, досягнувши пікового значення 9232.

Гіпотеза Коллатца полягає в тому, що яке б початкове число ми не взяли, рано чи пізно ми отримаємо одиницю.

Числа — градини — також поширена назва для сукупності розглянутих послідовностей. Така назва виникла через те, що графіки послідовностей (див. ілюстрацію) схожі на траєкторію руху градин в атмосфері.

Проєкт «Collatz Conjecture» ред.

У серпні 2009 року на платформі BOINC був запущений проєкт добровільних розподілених обчислень «Collatz Conjecture [Архівовано 4 грудня 2017 у Wayback Machine.]», метою якого є перевірка гіпотези Коллатца на великих числах. Обчислювальний модуль проєкту може використовувати обчислювальні потужності сучасних відеокарт для одночасної обробки і вирахування послідовностей.

Візуалізація ред.

Напрямлений граф, що показує орбіти невеликих чисел при відображенні карти Коллатца.
Напрямлений граф, що показує орбіти перших 1000 номерів.
х — стартовий номер
у — найбільше число в ланцюгу на шляху до 1.

Аргументи на користь теорії ред.

Хоча гіпотеза не була доведена, більшість математиків, які розглядали цю проблему, вважають гіпотезу істинною, тому що експериментальні дані і евристичні міркування підтримують її.

Ймовірнісний підхід ред.

Якщо врахувати тільки непарні числа в послідовності, породженій процесом Коллатц, то кожне непарне число складає в середньому 3/4 попереднього. З цього витікає евристичний аргумент, що будь-яка послідовність чисел-градин повинна зменшуватись в довгостроковій перспективі, хоча це не є аргументом проти інших циклів, тільки проти дивергенції. Аргумент не є доказом, оскільки він припускає, що послідовності градини збираються з некорельованих ймовірнісних подій.

Строгі обмеження ред.

Хоча достеменно не відомо чи всі додатні числа в кінцевому підсумку зводяться до одиниці відповідно до гіпотези Коллатца, відомо, що багато чисел дійсно зводяться. Зокрема, Красиков і Лагарис довели, що кількість цілих чисел в інтервалі [1, х], що в кінцевому підсумку зводяться до одиниці, принаймні пропорційна x^0.84.

Цикли ред.

Див. також: Періодична послідовність

У цій частині розглянемо скорочену форму функції Коллатца

f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {2}},\\[4px]{\frac {3n+1}{2}}&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}

Цикл — це послідовність

(a 0, a 1, ..., a q)

різних натуральних чисел, де

f (a 0) = a 1

,

f (a 1) = a 2

, … і

f (a q) = a 0

.

Єдиним відомим циклом є $(1,2)$ з періодом 2, який називають тривіальним циклом.

Довжина циклу ред.

Відомо, що довжина нетривіального циклу становить не менше 17087915^[1]. Точніше, Еліаху довів, що період $p$ будь-якого нетривіального циклу має вигляд

p=301994a+17087915b+85137581c

де

a

,

b

і

c

— цілі невід'ємні числа,

b \geq 1

і

ac = 0

(тобто, хоча б одне з чисел a чи c дорівнює нулю). Цей результат ґрунтується на розкладі

ln 3 ln 2

в ланцюговий дріб.

Подібне міркування, яке враховує нещодавню перевірку гіпотези до $268$ , призводить до покращеної нижньої межі 114208327604 (або 186265759595 без «ярлика»). Ця нижня межа узгоджується з наведеним вище результатом, оскільки 114208327604 = 17087915 × 361 + 85137581 × 1269.

$k$ -цикли ред.

$k$ -цикл — це цикл, який можна розбити на $2 k$ неперервних підпослідовностей: $k$ послідовностей непарних чисел, що зростають, які чергуються з $k$ спадними послідовностями парних чисел^[2]. Наприклад, якщо цикл складається з однієї зростаючої послідовності непарних чисел, за якою йде спадна послідовність парних чисел, він називається 1-циклом.

Штайнер (1977) довів, що не існує 1-циклу, крім тривіального $(1; 2)$ ^[3]. Сімонс (2005) за допомогою методу Штайнера довів, що не існує 2-циклу^[4]. Сімонс і де Вегер (2005) розширили це доведення до 68-циклів: немає $k$ -циклу до $k = 68$ ^[2]. Для кожного $k$ поза 68 цей метод дає верхню межу для найменшого члена $k$ -циклу: наприклад, якщо є 77-цикл, тоді принаймні один елемент циклу менший за 38137×2⁵⁰^[2]. Разом із перевіркою гіпотези до $268$ це означає відсутність нетривіального $k$ -циклу до $k = 77$ ^[5]. У міру просування комп'ютерних пошуків, більші значення $k$ можуть бути виключені. Простішими словами: нам не потрібно шукати цикли, які мають щонайбільше 77 циклів, де кожен контур складається з послідовних підйомів, за якими йдуть послідовні спади.

Див. також ред.

Примітки ред.

↑ Eliahou, Shalom (1993). The 3x + 1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths. Discrete Mathematics. 118 (1): 45—56. doi:10.1016/0012-365X(93)90052-U.
↑ ^а ^б ^в Simons, J.; de Weger, B. (2005). Theoretical and computational bounds for m-cycles of the 3n + 1 problem (PDF). Acta Arithmetica. 117 (1): 51—70. Bibcode:2005AcAri.117...51S. doi:10.4064/aa117-1-3. Архів оригіналу (PDF) за 17 травня 2017. Процитовано 2 липня 2022.
↑ Steiner, R. P. (1977). A theorem on the syracuse problem. Proceedings of the 7th Manitoba Conference on Numerical Mathematics. с. 553—9. MR 0535032.
↑ Simons, John L. (2005). On the nonexistence of 2-cycles for the 3x + 1 problem. Math. Comp. 74: 1565—72. Bibcode:2005MaCom..74.1565S. doi:10.1090/s0025-5718-04-01728-4. MR 2137019.
↑ Barina, David (2020). Convergence verification of the Collatz problem. The Journal of Supercomputing. 77 (3): 2681—2688. doi:10.1007/s11227-020-03368-x.

Література ред.

Хейєс, Браян. Злети та падіння чисел-градин // В світі науки (Scientific American, видання російською мовою). — 1984. — № 3. — С. 102—107.

Посилання ред.

Проблема 3x+1 [Архівовано 16 грудня 2013 у Wayback Machine.] — стаття на сайті вчителя математики, Сербіної Надії Олексіївни.
Collatz Conjecture [Архівовано 4 грудня 2017 у Wayback Machine.] — проект розподілених обчислень на платформі BOINC з перевірки гіпотези Коллатца на великих числах.
On the 3x + 1 problem [Архівовано 14 грудня 2013 у Wayback Machine.] — проект розподілених обчислень, заснований Еріком Рузендалем (Eric Roosendaal), з перевірки гіпотези Коллатца на великих числах.
Аналітичний підхід до проблеми Коллатца [Архівовано 20 березня 2013 у Wayback Machine.].

[Eliahou_(1993)-1] Eliahou, Shalom (1993). The 3x + 1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths. Discrete Mathematics. 118 (1): 45—56. doi:10.1016/0012-365X(93)90052-U.

[Simons_&_de_Weger_(2005)-2] а ^б ^в Simons, J.; de Weger, B. (2005). Theoretical and computational bounds for m-cycles of the 3n + 1 problem (PDF). Acta Arithmetica. 117 (1): 51—70. Bibcode:2005AcAri.117...51S. doi:10.4064/aa117-1-3. Архів оригіналу (PDF) за 17 травня 2017. Процитовано 2 липня 2022.

[Steiner_(1977)-3] Steiner, R. P. (1977). A theorem on the syracuse problem. Proceedings of the 7th Manitoba Conference on Numerical Mathematics. с. 553—9. MR 0535032.

[4] Simons, John L. (2005). On the nonexistence of 2-cycles for the 3x + 1 problem. Math. Comp. 74: 1565—72. Bibcode:2005MaCom..74.1565S. doi:10.1090/s0025-5718-04-01728-4. MR 2137019.

[Barina-5] Barina, David (2020). Convergence verification of the Collatz problem. The Journal of Supercomputing. 77 (3): 2681—2688. doi:10.1007/s11227-020-03368-x.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]