Розв'язна група

В абстрактній алгебрі розв'язні групи  — групи що відіграють вирішальну роль в теорії Галуа. Поняття розв'язної групи виникло для опису властивостей груп автоморфізмів тих поліномів, розв'язки яких можуть бути записані у радикалах.

Визначення

Група G називається розв'язною, якщо існує спадний ланцюг підгруп:

$\{1\}=G_{0}\subset G_{1}\subset \cdots \subset G_{k}=G$

такий, що $\ G_{j-1}$ є нормальною підгрупою $\ G_{j}$ а також факторгрупи $\ G_{j}/G_{j-1}$ для $j=1,2,\dots ,k$ є абелевими.

Властивості

• Якщо H — нормальна підгрупа в G, H розв'язна і факторгрупа G / H розв'язна, тоді і G розв'язна. Зокрема якщо дві групи розв'язні, то їх прямий добуток (і навіть напівпрямий добуток) розв'язний.
• Всяка підгрупа і факторгрупа розв'язної групи розв'язні.
• Якщо порядок скінченної групи ділиться лише на два прості числа, то така група розв'язна.

Приклади

• Група невироджених верхніх трикутних матриць є розв'язна.
• Вільна група рангу більше одиниці не є розв'язною.
• Симетрична група $\ S_{n}$ є розв'язною тоді і тільки тоді, коли $n\leq 4$.

Ланцюги нормальних підгруп $S_{n}$:

• $S_{2}$${\overset {2}{\longrightarrow }}$${e}$$,\qquad \qquad \qquad (C_{2}=S_{2})$
• $S_{3}$${\overset {2}{\longrightarrow }}$$C_{3}$${\overset {3}{\longrightarrow }}{e},\qquad \quad (C_{3}=A_{3})$
• $S_{4}$${\overset {2}{\longrightarrow }}$$A_{4}$${\overset {3}{\longrightarrow }}$$V_{4}$${\overset {2}{\longrightarrow }}C_{2}{\overset {2}{\longrightarrow }}{e}$
• $S_{5}$${\overset {2}{\longrightarrow }}$$A_{5}$${\overset {60}{\longrightarrow }}{e}$
• $S_{6}$${\overset {2}{\longrightarrow }}$$A_{6}$${\overset {360}{\longrightarrow }}{e}$

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)