Теорія лінійних стаціонарних систем

розділ теорії динамічних систем

Тео́рія ліні́йних стаціона́рних систе́м — розділ теорії динамічних систем, що вивчає поведінку і динамічні властивості лінійних стаціонарних систем (ЛСС). Використовується для вивчення процесів керування технічними системами, для цифрової обробки сигналів і в інших галузях науки і техніки.

ОглядРедагувати

Визначальними властивостями будь-якої лінійної стаціонарної системи є лінійність і стаціонарність:

  • Лінійність означає лінійний зв'язок між входом і виходом системи.

Формально, лінійною називається система, що має таку властивість:

якщо сигнал на вході системи можна подати зваженою сумою впливів (наприклад, двох) — ::  
то сигнал на виході системи є також зваженою сумою реакцій на кожен із впливів — ::  
для будь-яких сталих A і B.
  • Стаціонарність — означає, що вихідний сигнал системи як реакція на будь-який заданий вхідний сигнал однаковий для будь-якого моменту прикладення вхідного сигналу (з точністю до часу запізнювання моменту прикладення вхідного сигналу). У вужчому сенсі — при запізненні вхідного сигналу за часом на деяку величину, вихідний сигнал буде запізнюватися на ту ж саму величину.

Динаміку системи, що має перераховані вище властивості, можна описати однією простою функцією, наприклад, імпульсною перехідною функцією. Вихід системи можна розрахувати як згортку вхідного сигналу з імпульсною перехідною функцією системи. Цей метод аналізу іноді називають аналізом у часовій області. Сказане справедливе і для дискретних систем.

 
Зв'язок між часовою і частотною областями

Крім того, будь-яку ЛСС можна описати в частотній області за допомогою її передавальної функції, яка є перетворенням Лапласа імпульсної перехідної функції (або Z-перетворенням у разі дискретних систем). У силу властивостей цих перетворень, вихід системи в частотній області дорівнюватиме добутку передавальної функції і відповідного перетворення вхідного сигналу. Іншими словами, згортці в часовій області відповідає множення в частотній області.

Для всіх ЛСС власні функції є комплексними експонентами. Тобто, якщо вхід системи є комплексним сигналом   з деякою комплексною амплітудою   і частотою  , то вихід дорівнюватиме деякому сигналу   з комплексною амплітудою  . Відношення   буде передавальною функцією системи на частоті  .

Оскільки синусоїда є сумою комплексних експонент з комплексно-спряженими частотами, якщо вхід системи — синусоїда, то виходом системи буде також синусоїда, в загальному випадку з іншого амплітудою і фазою, але з тією ж частотою.

Теорія ЛСС добре підходить для опису багатьох систем. Більшість ЛСС значно простіше аналізувати, ніж нестаціонарні і нелінійні системи. Будь-яка система, динаміка якої описується лінійним диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами, є лінійною стаціонарною системою. Прикладами таких систем є електричні схеми, зібрані з резисторів, конденсаторів і котушок індуктивності (RLC-ланцюжки). Вантаж на пружині також можна вважати ЛСС.

Більшість загальних концепцій ЛСС схожі як у разі неперервних систем, так і в разі дискретних систем.

Стаціонарність і лінійні перетворенняРедагувати

Розглянемо нестаціонарну систему, чия імпульсна характеристика є функцією двох змінних. Подивимося, як властивість стаціонарності допоможе нам позбутися від одного виміру. Наприклад, нехай вхідний сигнал —  , де аргумент — числа дійсної осі, тобто  . Лінійний оператор   показує, як система відпрацьовує цей вхідний сигнал. Відповідний оператор для деякого набору аргументів є функцією двох змінних:

 

Для дискретної системи:

 

Оскільки   — лінійний оператор, вплив системи на вхідний сигнал   подається лінійним перетворенням, описуваним таким інтегралом (інтеграл суперпозиції)

 

Якщо лінійний оператор   до всього іншого є і стаціонарним, тоді

 

Поклавши

 

отримаємо:

 

Для стислості запису другий аргумент в   зазвичай опускають і інтеграл суперпозиції стає інтегралом згортки:

 

Таким чином, інтеграл згортки показує як лінійна стаціонарна система відпрацьовує будь-який вхідний сигнал. Отримане співвідношення для дискретних систем:

 

Імпульсна перехідна функціяРедагувати

Якщо до входу системи прикласти вхідний сигнал у вигляді дельта-функції Дірака, кінцевий вихідний сигнал ЛСС являтиме собою імпульсну перехідну функцію системи. Запис:

 

Для дискретної системи:

 

(через властивості зсуву дельта-функції).

Зауважимо, що:

 

тобто   — імпульсна перехідна функція системи.

Імпульсна перехідна функція використовується для того, щоб знайти вихідний сигнал системи як реакцію на будь-який вхідний сигнал. Крім того, будь-який вхід можна подати у вигляді суперпозиції дельта-функцій:

 

Приклавши до входу системи, отримаємо:

 
  (оскільки   лінійна)
  (оскільки   стала за t і   лінійна)
  (за визначенням  )

В імпульсній перехідній функції   міститься вся інформація про динаміку ЛСС.

Власні функціїРедагувати

Власна функція — функція, для якої вихід оператора являє собою ту ж функцію, в загальному випадку з точністю до сталого множника. Запис:

  ,

де f — власна функція, і   — власне число, стала.

Експоненти  , де   є власними функціями лінійного стаціонарного оператора.

ДоведенняРедагувати

Нехай вхідний сигнал системи  . Тоді вихідний сигнал системи   дорівнює:

 

що еквівалентно такому виразу в силу комутативності згортки:

 
 
  ,

де

 

залежить тільки від s.

Таким чином,   — власна функція ЛСС.

Перетворення Лапласа і Фур'єРедагувати

 

є точним способом отримати власні числа з імпульсної перехідної функції. Особливий інтерес становлять чисті синусоїди, тобто експоненти вигляду   де   і   — уявна одиниця. Їх зазвичай називають комплексними експонентами, навіть якщо аргумент не має дійсної частини. Перетворення Фур'є   дає власні числа для чисто комплексних синусоїд.   називається передавальною функцією системи, іноді в літературі цей термін застосовують і до  .

Перетворення Лапласа зазвичай використовують для односторонніх сигналів, тобто за нульових початкових умов. Початковий момент часу без втрати загальності приймається за нуль, а перетворення береться від нуля до нескінченності (перетворення, яке виходить при інтегруванні також і до мінус нескінченності, називається двостороннім перетворенням Лапласа).

Перетворення Фур'є використовується для аналізу систем, через які проходять періодичні сигнали, і в багатьох інших випадках — наприклад, для аналізу системи на стійкість .

Через властивості згортки для обох перетворень мають виконуються співвідношення:

 
 

Для дискретних систем:

 
 

Деякі властивостіРедагувати

Деякі з важливих властивостей будь-якої системи — причинність і стійкість. Для того, щоб система існувала в реальному світі, має виконуватися принцип причинності. Нестійкі системи можуть бути побудованими і іноді навіть бути корисними.

ПричинністьРедагувати

Система називається причинною, якщо її вихід залежить тільки від поточного або попереднього прикладеного впливу. Необхідна і достатня умова причинності:

 

Для дискретних систем:

 

де   — імпульсна перехідна функція. У явному вигляді визначити причинна система чи ні з її перетворення Лапласа в загальному випадку неможливо, оскільки зворотне перетворення Лапласа не є унікальним. Причинність можна визначити, коли задано область збіжності.

СтійкістьРедагувати

Система є стійкою за обмеженим входом, обмеженим виходом (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) якщо для кожного обмеженого входу вихідний сигнал є скінченним. Запис: Якщо

 

і

 

(тобто, максимуми абсолютних значень   і   скінченні), то система стійка. Необхідна і достатня умова стійкості: імпульсна перехідна характеристика системи,  , має задовольняти виразу

 

Для дискретних систем:

 

У частотній області область збіжності має містити уявну вісь  .

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

  • P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — 5.
  • P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — 5.
  • В.И. Зубов. Теория уравнений управляемого движения. — Л. : ЛГУ, 1980.