Власна функція

Вла́сною фу́нкцією лінійного оператора $L$ із власним значенням $\lambda$ називається така ненульова функція $f$, для якої виконується співвідношення

$L(f)=\lambda f,$

де $\lambda$ це певне число (дійсне або комплексне). Таким чином, дія оператора $L$ на його власну функцію $f$ зводиться до множення $f$ на число $\lambda .$ Поняття власної функції — це зразок загального поняття власного вектора лінійного оператора, коли роль векторів відіграють функції. Зокрема, воно широко застосовується у теорії диференціальних і інтегральних операторів. Якщо $L$ — це оператор Шредінгера з квантової механіки, то його власні функції мають зміст векторів стаціонарного стану, а власні значення відповідають енергії (див. Стаціонарне рівняння Шредінгера). Переважна більшість спеціальних функцій і всі ортогональні поліноми, які розглядаються у математиці і фізиці, є власними функціями певних диференціальних операторів.

Якщо для оператора існує більш за одну лінійно незалежну власну функцію із однаковим власним значенням $\lambda$, то таке власне значення називається виродженим . Множина всіх власних значень оператора $L$ належить до спектра $L$, але взагалі спектр оператора містить також $\lambda ,$ що не є власними числами.

Приклади

1. Розглянемо зміну напрямку $x\mapsto -x$ на числовій осі $\mathbb {R}$. Це — відображення $\mathbb {R}$ до себе, що приводить до лінійного оператора $S,$ що діє на функціях на $\mathbb {R}$ за формулою

$Sf(x)=f(-x).$

Власними функціями $S$ є всі парні функції, що відповідають власному значенню 1, і всі непарні функції, що відповідають власному значенню -1, за винятком функції $0.$ Функції, які не є ні парними, ні непарними, не належать до власних функцій даного оператора. Спектр даного оператора збігається із множиною власних значень і складається із двох чисел: 1 та -1. Обидва власні значення вироджені, оскільки існує безліч парних чи непарних функцій.

2. Для оператора похідної ${\frac {d}{dx}}$ у просторі всіх диференційовних дійснозначних функцій однієї змінної $x$, експоненціальна функція $e^{kx},k\in \mathbb {R}$ є власною функцією із власним значенням $k.$ У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що будь-яка фунція $f(x),$ що задовольняє

${\frac {df}{dx}}=kf,$

має вигляд $f(x)=Ce^{kx},$ тобто пропорційна $e^{kx}.$ Тому жодне із власних значень не є виродженим. Якщо поширити простір, на якому діє ${\frac {d}{dx}},$ до простору всіх диференційовних комплекснозначних функцій, то будь-яка власна функція ${\frac {d}{dx}}$ пропорційна комплексній експоненціальній функції $e^{kx},k\in \mathbb {C} .$

3. Поліноми Лежандра

$P_{l}(z)={\frac {(-1)^{l}}{2^{l}l!}}{\frac {d^{l}}{dz^{l}}}(1-z^{2})^{l}$

є власними функціями диференціального оператора

$L=(1-z^{2}){\frac {d^{2}}{dz^{2}}}-2z{\frac {d}{dz}}$

з власними значеннями $\lambda =-l(l+1).$ Ці функції — скінченні у точках $z=\pm 1,$ і будь-яка власна функція $L$ скінченна у $z=\pm 1$ пропорційна до певного $P_{l}(z),l=0,1,2,\ldots .$

Див. також

• Власний вектор
• Стаціонарне рівняння Шредінгера