Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.
Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел у часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти , тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.
Дискретна функція є функцією, яка визначена у дискретні моменти часу Таку функцію можна записати у вигляді де - неперервна змінна. Ця функція характеризується тим, що вона визначається неперервною функцією (неперервного аргументу) й примає її значення у моменти Така функція називається ґратчастою функцією. Крім того, використовуєтьс зміщена ґратчаста функція яка приймає значення неперервної функції у моменти
Перша властивість є необхідною для існування області збіжності ряду у правій частині, а друга властивість використовується для виводу деяких властивостей -перетворення. Функції, які задовільняють вказаним двом властивостям, називають функціями-оригіналами.
Лінійність. Модифіковане -перетворення від лінійної комбінації дискретних функцій дорівнює лінійній комбінації їх модифікованих -перетворень: Тут - константи.
Запізнювання. Модифіковане -перетворення від функції із запізнюваним аргументом визначається як:
Випередження. Модифіковане -перетворення від функції із випереджуючим аргументом визначається як: Якщо (початкові умови нульові), то
Згортання. Добуток зображень та дорівнює -перетворенню від згортання їх оригіналів та :
Межеві значення. Початкове значення ґратчастої функції по її звичайному та модифікованому -зображенню визначається як: Границя за умови, що вона існує, визначається як:
Z-перетворення, як і багато інтегральних перетворень, може бути як одностороннє, так і двостороннє.