Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел у часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти , тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.
Дискретна функція є функцією, яка визначена у дискретні моменти часу Таку функцію можна записати у вигляді де - неперервна змінна. Ця функція характеризується тим, що вона визначається неперервною функцією (неперервного аргументу) й примає її значення у моменти Така функція називається ґратчастою функцією. Крім того, використовуєтьс зміщена ґратчаста функція яка приймає значення неперервної функції у моменти
Перша властивість є необхідною для існування області збіжності ряду у правій частині, а друга властивість використовується для виводу деяких властивостей -перетворення. Функції, які задовільняють вказаним двом властивостям, називають фукціями-оригіналами.
Лінійність. Модифіковане -перетворення від лінійної комбінації дискретних функцій дорівнює лінійній комбінації їх модифікованих -перетворень: Тут - константи.
Запізнювання. Модифіковане -перетворення від функції із запізнюваним аргументом визначається як:
Випередження. Модифіковане -перетворення від функції із випереджуючим аргументом визначається як: Якщо (початкові умови нульові), то
Згортання. Добуток зображень та дорівнює -перетворенню від згортання їх оригіналів та :
Межеві значення. Початкове значення ґратчастої функції по її звичайному та модифікованому -зображенню визначається як: Границя за умови, що вона існує, визначається як:
Z-перетворення, як і багато інтегральних перетворень, може бути як одностороннє, так і двостороннє.
![{\displaystyle x[lT],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161bf90f3a19ea29452000412b7f9c7ed694650a)
![{\displaystyle x[lT]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd293b72f8f34e08c95cfcdfa10b66f17b4418a)
![{\displaystyle x[(l+\varepsilon )T]\,\,(0<\varepsilon <1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bdc85db2938588740a14b71ad30635f99bff569)
![{\displaystyle X(z)=\sum _{l=0}^{\infty }x[lT]z^{-l},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c45b00ddccb8289d40d915fd7133451efb8714)
![{\displaystyle X(z)=Z\{x[lT]\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555d0d87edc21df22cdbf62077673b5a33d3752f)
![{\displaystyle x[lT]=Z^{-1}\{X(z)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd3ac6fe91553a223a75436ad4b89d884b0e354)
![{\displaystyle x[(l+\varepsilon )T]z^{-l},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b689c5393c298dd5649ce41e69167de2a1d60567)
![{\displaystyle X(z,\varepsilon )=\sum _{l=0}^{\infty }x[(l+\varepsilon )T]z^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18029093c327ed9339dd41e951720daf5d1f8bbe)
![{\displaystyle X(z,\varepsilon )=Z\{x[(l+\varepsilon )T]\}=Z^{\varepsilon }\{x[lT]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86bd9a6c162c7f9e4d2d6f99ffc26094e9d523af)
![{\displaystyle x[lT]=1[lT]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27792fdeafbec09cd4e5d9067bac33c89a556b76)
![{\displaystyle x[(l+\varepsilon )T]=1[(l+\varepsilon )T].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f18fe82acca64297cd4aeb7d0de831071c35f5)
![{\displaystyle l\geq 0\quad 1[lT]=1[(l+\varepsilon )T]=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a868d0b82470f732a4a3bf896bbf5256ef0526c)
![{\displaystyle Z\{1[lT]\}=Z\{1[(l+\varepsilon )T]\}={\frac {1}{1-z^{-1}}}={\frac {z}{z-1}}\quad (|z|>1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ca05afe2840e6cb127af291d9dbe4b05c0fdac)
![{\displaystyle |x[lT]|<Mq^{t}\quad (\forall l\geq 0);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d910c6b36cc8e3f1e6a6321384706d6cc97b6d1)
![{\displaystyle x[lT]=0\quad (\forall l<0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3011193627bec4eb3dec5e50dc9a72896f4e98d8)
![{\displaystyle Z{\begin{Bmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}[(l+\varepsilon )T]\end{Bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}Z\{x_{i}[(l+\varepsilon )T]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4a86f0537878c9248688c762e13f3a30c7833c)
![{\displaystyle x[(l-m)T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a79a26c0952e3c087f58ce86f52dbb638bf19f5)
![{\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l-m)T]\}=z^{-m}Z^{\varepsilon }\{x[lT]\}=z^{-m}X(z,\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9f311ddd13f4f5a3e45f325a24e9bf96fe5f60)
![{\displaystyle x[(l+m)T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d47a23ef872fb2f85b376a15d8065dde345f80)
![{\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^{m}{\begin{bmatrix}X(z,\varepsilon )-\sum _{k=0}^{m-1}x[(x+\varepsilon )T]z^{-k}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffaafcb09cfe23a93be8200487f199cacb4ba3c)
![{\displaystyle x[\varepsilon T]=x[(1+\varepsilon )T]=...=x[(m-1+\varepsilon )T]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5864d85cfabd74439d8aa7df6c36dc72e8ddb1)
![{\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^{m}X(z,\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48ef15f4ee5fc779487bb29a0142d4f8f97a85c)
![{\displaystyle x_{1}[(l+\varepsilon )T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836f18c7a8d74de13b7c454e9aceb30880345e03)
![{\displaystyle x_{2}[(l+\varepsilon )T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044c7d73780aa91dbc1f02038782e3fa819b7d80)
![{\displaystyle X_{1}(z,\varepsilon )X_{2}(z,\varepsilon )=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{1}[(k+\varepsilon )T]x_{2}(l-k+\varepsilon )T\}=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{2}[(k+\varepsilon )T]x_{1}[(l-k+\varepsilon )T]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04234dfeb2917a9641bcb75389a7ea75cf5e261)
![{\displaystyle x[\varepsilon T]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z,\varepsilon ),\quad x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cee1d586219875eff97bbdec055184e426bd4f8)
![{\displaystyle z(\infty )=\lim _{l\rightarrow \infty }x[lT]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e7f19417ff391f92b6d8de7300de14bb4dd20d)
![{\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caea987cde0ef67e07d762e91f9898febf7eb62e)
![{\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf80f2ae72c29fcba664fb8222bd0d94e6e78706)
![{\displaystyle x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{C}X(z)z^{n-1}\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9140b03abcec8a9c8c50ee2799283faeacd613)
![{\displaystyle x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }X(re^{j\varphi })e^{jn\varphi }\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc3cc2f5a84d7b6b661e12d04860262567e0187)
![{\displaystyle \theta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b37027362f8894b9fb2b8ee08d2a9fec58bdd27)
![{\displaystyle \delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa)
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle \delta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bf83f188a8d5c544e4565e7690b4029baed424)
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37420bd43ae13a5c7f300b7e74cae6f08d38929a)
![{\displaystyle \theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e55ea347c71f67463d1a4fc7b761144c171bdfe)
![{\displaystyle a^{n}\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e9e84393e469ad438b55e6b09fb0eb9bf85428)
![{\displaystyle na^{n}\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1fe10b5fa2e190f45e5cf899824a1779cdeb8f)
![{\displaystyle -a^{n}\theta [-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106825854b913e23f470931f7769d2ce5e84dd7f)
![{\displaystyle -na^{n}\theta [-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a847fd761ce39e72fba2fd051e1c6403081190c)
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccd2188b53f35080b2912de3a6ca4106da93248)
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f5225ca57a1f14bedb040166939fbf595b7022)
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b3be4808ac16de2019d26cd58e1f37d964e502)
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f3d07aa4400db48dbca78afe886699a839ad10)
