Теорема про сферу (диференціальна геометрія)

теорема диференціальної геометрії

Теорема про сферу — загальна назва теорем, що дають достатні умови на ріманову метрику, які гарантують гомеоморфність або дифеоморфність многовиду стандартній сфері.

ФормулюванняРедагувати

Нехай   — замкнутий, однозв'язний, n-вимірний ріманів многовид з деякою умовою на кривину (див. зауваження), тоді   гомеоморфний / дифеоморфний n-вимірній сфері.

ЗауваженняРедагувати

  • Найвідомішою умовою на кривину є так зване чверть-защеплення кривини, що означає, що секційна кривина в кожному секційному напрямку кожної точки лежить в  .
    • Умова чверть-защеплення є оптимальною, теорема перестає виконуватись, якщо секційна кривина може набувати значень у замкнутому інтервалі  . Стандартний контрприклад — комплексний проєктивний простір з канонічною метрикою; секційна кривина метрики набуває значень між 1 і 4, включно з кінцевими точками. Інші контрприклади можна знайти серед симетричних просторів рангу 1.
    • Загальнішою умовою є поточкове чверть-защеплення. Це означає, що секційна кривина додатна і для кожної фіксованої точки відношення максимуму до мінімуму секційних кривин по всіх секційних напрямках не перевершує 4.
  • Іншою відомою умовою на кривину є додатність оператора кривини.
    • Загальнішою умовою є так звана 2-додатність оператора кривини, тобто додатність суми двох найменших власних значень оператора кривини.

ІсторіяРедагувати

Топологічна теоремаРедагувати

  • Першу теорему про сферу довів 1951 року Раух[ru]. Він показав, що однозв'язні многовиди із секційною кривиною в інтервалі [3/4, 1] гомеоморфні.
  • 1988 року Мікалеф і Мур довели топологічну версію для замкнутих многовидів із додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.

Гладка теоремаРедагувати

Класичні методи дозволяли довести гладку теорему про сферу тільки для дуже жорсткого защеплення, оптимальних защеплень вдалося досягти застосуванням потоку Річчі.

  • 1982 року Річард Гамільтон довів гладку теорему про сферу в 3-вимірному випадку з додатною кривиною Річчі.
    • Це було перше застосування потоку Річчі, інші доведення гладкої теореми проходили за тією ж схемою, але вимагали серйозних технічних доробок.
  • 1985 року Герхард Гуйскен[en] використав потік Річчі для доведення гладкої теореми про сферу у всіх розмірностях.
    • Запропонована ним умова на кривину була в деякому сенсі оптимальною. Зокрема, тензор кривини добутку кола на сферу   лежить на межі умови на кривину.
  • 2008 року Бурхард Вілкінг[ru] і Крістоф Бем довели гладку теорему про сферу для два-додатності оператора кривини. Зокрема, гладка теорема про сферу виконується за умови додатності оператора кривини.
  • 2009 року Саймон Брендле[en] і Річард Шен[en] довели гладку теорему про сферу з чверть-защепленням. Їхнє доведення істотно використовувало ідеї Вілкінга і Бема.

ЛітератураРедагувати

  • Rauch, H.E., A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math.[en] 54 (1951), 38-55
  • Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. of Math. 69 (1959), 654—666.
  • Berger, M., Les variétés Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161—170.
  • Micallef, M., Moore, J. D., Minimal two-spheres and the topology of manifolds with positive curvature on totally isotropic two-planes. Ann. of Math. (2) 127 (1988), 199—227.
  • Huisken, G., Ricci deformation on the metric on a Riemannian manifold. J. Differential Geom.[en] 21 (1985), 47-62.
  • B. Wilking, C. Böhm: Manifolds with positive curvature operators are space forms. Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 3, 1079—1097.
  • Simon Brendle and Richard Schoen. Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms // Journal of the American Mathematical Society[en] : journal. — 2009. — Vol. 22, no. 1 (7 December). — P. 287—307. — DOI:10.1090/s0894-0347-08-00613-9.