Кривина ріманових многовидів

властивість у диференціальній геометрії

Кривина ріманових многовидів чисельно характеризує відмінність ріманової метрики многовиду від евклідової в даній точці. У разі поверхні кривина в точці повністю описується гаусовою кривиною. У розмірностях 3 і вище кривина не може бути повністю охарактеризована одним числом в заданій точці, замість цього вона означається як тензор.

Зліва направо: поверхні негативної, нульової і позитивної гаусової кривини.

Тензор кривиниРедагувати

Докладніше: Тензор кривини

Кривина ріманого многовиду може бути описана різними способами. Найбільш стандартним є тензор кривини, заданий через зв'язність Леві-Чивіти (або коваріантне диференціювання)   і дужку Лі   за такою формулою:

 

Тензор кривини   є лінійним перетворенням дотичного простору до многовиду в обраній точці.

Якщо   и  , тобто вони є координатними векторами, то  , і тому формула спрощується:

 

тобто тензор кривини вимірює некомутативність коваріантних похідних за векторах.

Лінійне перетворення   також називають перетворенням кривини.

ПосиланняРедагувати