Лема Сінга

твердження про стабільність замкнутих геодезичних у ріманових многовидах

Лема Сінга - ключове твердження про стабільність замкнутих геодезичних у ріманових многовидах із додатною секційною кривиною.

Лема є прямим наслідком формули для другої варіації довжин однопараметричного сімейства кривих.

Її використовував Джоном Сінгом.[1]

ФормулюванняРедагувати

Нехай   - геодезична в рімановому многовиді   з додатною секційною кривиною і   - паралельне поле дотичних векторів на  . Тоді варіація   в напрямку   скорочує її довжину.

Точніше, якщо

 

і   позначає довжину кривої   тоді   і  .

НаслідкиРедагувати

  • Якщо замкнута геодезична, яка допускає паралельне векторне поле, не є стабільною, тобто її довжину можна зменшити довільно малою деформацією.[уточнити] Зокрема,
    • Парновимірні орієнтовані ріманові многовиди з додатною секційною кривиною однозв'язні.
    • Непарновимірні ріманові многовиди з додатною секційною кривиною орієнтовані.
  • Лему Сінга використовував також Теодор Франкель[en][2] для доведення того, що, якщо   і   є замкнутими геодезичними підмноговидами в рімановому мнгоговиді   з додатною секційною кривиною і  , то   і   перетинаються.

ПриміткиРедагувати

  1. Synge, John Lighton (1936). On the connectivity of spaces of positive curvature. Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series) 7: 316–320. doi:10.1093/qmath/os-7.1.316. 
  2. Frankel, Theodore. Manifolds with positive curvature // Pacific J. Math.. — 1961. — Vol. 11 (1 December). — P. 165–174. Архівовано з джерела 18 серпня 2020. Процитовано 19 липня 2021.