Потік Річчі

Потік Річчі — система диференціальних рівнянь, що описує деформацію ріманової метрики на многовиді.

Ця система є нелінійним аналогом рівняння теплопровідності.

Візуалізація потоку Річчі на двовимірній поверхні обертання.

Названий за аналогією з кривиною Річчі, на честь італійського математика Річчі-Курбастро.

Рівняння

Рівняння потоку Річчі має вигляд:

$\partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.$

де $g_{t}$ позначає однопараметричне сімейство ріманових метрик на повному многовиді (залежить від дійсного параметра $t$), і $\mathrm {Rc} _{t}$ — її тензор Річчі.

Властивості

• Формально кажучи, система рівнянь $R$, що задається потоком Річчі, не є параболічним рівнянням. Проте, існує параболічна система рівнянь $R'$, запропонована Детурком, така, що якщо $g_{0}$ ріманова метрика на компактному многовиді $M$ і $g_{t}$, $g'_{t}$ — розв'язок систем $R$ і $R'$, то $(M,\;g_{t})$ ізометричне $(M,\;g_{t}')$ для всіх $t$.
  • Ця конструкція суттєво спростила доведення існування розв'язку, вона називається «трюком Детурка».
• Аналогічно рівнянню теплопровідності (та іншим параболічним рівнянням, задавши довільні початкові умови $t=0$, можна отримати розв'язок лише в один бік $t$, а саме $t\geqslant 0$.
• На відміну від розв'язків рівняння теплопровідності, потік Річчі, як правило, не продовжується необмежено при $t\to \infty$. Розв'язок продовжується на максимальний інтервал $[0,\;T)$. У разі якщо $T$ скінченне, за наближення до $T$ кривина многовиду прямує до нескінченності, і в розв'язку формується сингулярність. Саме на дослідженні сингулярностей, в які впираються потоки Річчі, й ґрунтується доведення гіпотези Терстона.
• Псевдолокальність — якщо деякий окіл точки в початковий момент виглядає майже як ділянка евклідового простору, то ця властивість збережеться певний час у потоці Річчі в меншому околі.

Зміна геометричних характеристик

• Для об'єму $\mathrm {vol} _{t}$ метрики $g_{t}$ істинне співвідношення

  ${\tfrac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).$

• Для скалярної кривини $\mathrm {R} _{t}$ метрики $g_{t}$ істинне співвідношення

  ${\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}$

де $|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}$ визначається як $\sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j}))^{2}$ для ортонормованого репера $\{e_{i}\}$ в точці.

• Зокрема, згідно з принципом максимуму потік Річчі зберігає додатність скалярної кривини.
• Більш того, нижня грань скалярної кривини не спадає.

• Для кожного $g_{0}$-ортонормованого репера $\{e^{i}\}$ в точці $x\in M$ існує так званий супутній $g_{t}$-ортонормований репер $\{e_{t}^{i}\}$. Для тензора кривини $\mathrm {Rm} _{t}$, записаного в цьому базисі, істинне співвідношення

  ${\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {Rm} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _{t},\mathrm {Rm} _{t}),$

де $Q$ — певна білінійна квадратична форма на просторі тензорів кривини й зі значеннями в них.

• Білінійна квадратична форма $Q$ визначає векторне поле на векторному просторі тензорів кривини — кожному тензору кривини $x$ приписується інший тензор кривини $v_{x}=Q(x,x)$. Розв'язки ЗДР

${\dot {x}}=v_{x}$

відіграють важливу роль у теорії потоків Річчі.

• Опуклі множини $K$ в просторі тензорів кривини, інваріантні відносно поворотів і такі, що, якщо в наведеному ЗДР $x(0)\in K$, то $x(t)\in K$ за $t\geq 0$, називаються інваріантними для потоку Річчі. Якщо кривина ріманової метрики на замкнутому многовиді в кожній точці належить такому $K$, то це істинне і для метрик, одержуваних з неї потоком Річчі. Міркування такого роду називаються «принципом максимуму» для потоку Річчі.

• До інваріантних множин належать:

• тензори кривини з додатною скалярною кривиною
• тензори кривини з додатним оператором кривини
• у тривимірному випадку, тензори кривини з додатною кривиною Річчі

Розмірність 3

У випадку, коли розмірність простору дорівнює 3, для кожного $x$ і $t$ можна підібрати репер $\{e_{t}^{i}\}$, в якому $\mathrm {Rm} _{t}$ діагоналізується в базисі $e_{1}\wedge e_{2}$, $e_{2}\wedge e_{3}$, $e_{3}\wedge e_{1}$, скажімо,

$\mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix}}.$

Тоді

$Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.$

Історія

Початок дослідженню потоку Річчі поклав Гамільтон на початку 1980-х. За допомогою потоків Річчі доведено декілька гладких теорем про сферу.

Використовуючи потоки Річчі в своїх статтях, опублікованих протягом 2002—2003 років, Перельману вдалося довести гіпотезу Терстона, провівши тим самим повну класифікацію компактних тривимірних многовидів, і довести гіпотезу Пуанкаре.

Література

• Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
• Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
• Perelman, Grisha (November 11, 2002). «The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications». arXiv:math.DG/0211159 [math.DG]. 
• Perelman, Grisha (March 10, 2003). «Ricci flow with surgery on three-manifolds». arXiv:math.DG/0303109 [math.DG]. 
• Perelman, Grisha (July 17, 2003). «Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds». arXiv:math.DG/0307245 [math.DG]. 
• Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008.
• J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
• Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc, 2006.