Теорема Круля — Акідзукі

В комутативній алгебрі теорема Круля — Акідзукі стверджує: нехай A є одновимірним редукованим нетеровим кільцем (комутативним з одиницею), K його повним кільцем часток. Якщо L є скінченним розширенням K і є редукованим кільцем то будь-яке підкільце що містить A є нетеровим кільцем розмірності 0 або 1. Якщо також в L як K-модулі є скінченна породжуюча множина, що містить 1 і для деякого елемента з цієї множини де L' — підмодуль породжений іншими елементами породжуючої множини, то для кожного ненульового ідеала I в кільці B, є модулем скінченної довжини над A. Остання умова зокрема виконується якщо L є вільним K-модулем базис якого містить 1.

Важливим частковим випадком є коли A є нетеровою областю цілісності, K її полем часток, а Lскінченним розширенням полів. Тоді B має розмірність 0 тоді і тільки тоді коли воно є полем.

Наслідком теореми є те, що ціле замикання кільця Дедекінда A у скінченному розширенні його поля часток теж є кільцем Дедекінда.

ДоведенняРедагувати

Теорему можна звести до випадку  . Нехай   — скінченна породжуюча множина L як K-модуля, яка задовольняє додаткову умову теореми, якщо це можливо. Добуток неодиничних елементів цієї множини матиме вигляд   де всі   і   не будуть дільниками нуля. Позначивши p добуток   то в породжуючій множині всі елементи   можна замінити на   Тоді в записі добутків через суму всі коефіцієнти будуть належати A. Також при заміні додаткові умови теореми виконуються.

При вказаному виборі породжуючої множини A-підмодуль   і B-підмодуль   будуть підкільцями L і скінченними розширеннями кілець A і B відповідно. Оскільки L є редукованим кільцем такими ж є і A' і B' .

Також L є повним кільцем часток для A' . Дійсно кожен елемент L можна записати як частку елемента A' і не дільника нуля з A. Тож L є локалізацією кільця A' . Також кожен не дільник нуля з A' є оборотним елементом елемент L, що і доводить твердження.

Як скінченне (а тому і ціле) розширення A кільце A' є нетерівським розмірності 1. Також B буде нетеровим тоді і лише тоді коли таким буде B' і розмірності збігаються.

Якщо породжувальні елементи задовольняють вказану в твердженні умову, то з того, що для довільного ненульового ідеала I кільця B' фактор-кільце B' /I є A' -модулем скінченної довжини, таке ж твердження випливає для A і B. Дійсно нехай I — ненульовий підмодуль B і   — деяка спадна чи зростаюча послідовність A-підмодулів кільця B/I. За умовою для деякого елемента  всі елементи виду   не можна записати як лінійну комбінацію інших породжувальних елементів. Далі елементи виду   утворюють ідеал I' у B' перетин якого з   є рівним   Фактор-кільце за цим ідеалом є рівне   і знову ж елементи   не є лінійними комбінаціями інших елементів породжуючої множини. Також   будуть A' -підмодулями кільця B' /I' . До того ж всі ці модулі різні, бо всі   є різними і ці елементи не виражаються лінійно через інші породжувальні. Звідси B' /I' не має скінченної довжини як A' -модуль, що призводить до суперечності.

Отож достатньо довести теорему коли  . Кільце L є очевидно редукованим. До того ж у цьому випадку розмірність є рівною 0 тоді і лише тоді коли  . Доведення зводиться до випадку коли A є областю цілісності. Нехай   є мінімальними простими ідеалами кільця A. Оскільки A є нетеровим їх є скінченна кількість. Нехай   позначають поля часток   і   — ядра відображень  . Тоді:

 .

Якщо твердження теореми виконується коли A є областю цілісності, то всі   є нетеровими областями і розмірність   є рівною 0 у випадку   і 1 в іншому випадку. Звідси очевидно, що і розмірність B є рівною 0 або 1, до того ж нулю лише тоді коли B = K. Оскільки   то кільце є нетеровим.

Отож доведення зрештою звелося до випадку коли A є областю цілісності. Нехай   є ідеалом і a ненульовий елемент у  . Нехай  . Ці ідеали утворюють спадну послідовність у артиновому кільці   і тому існує ціле число l таке, що   для всіх  .

Далі доведемо

 

Твердження достатньо довести для всіх максимальних ідеалів кільця, тож можна вважати A локальним кільцем з максимальним ідеалом  . Якщо a є оборотним елементом, то твердження очевидне, тож нехай a належить максимальному ідеалу.

Якщо x = b/c є ненульовим елементом у B то з того, що A є нетеровим локальним кільцем розмірності 1 випливає, що cA є  -примарним ідеалом і тому існує n для якого   зокрема   Тому  . Звідси,

 

Нехай тепер n є мінімальним цілим числом   для якого виконується останнє твердження. Якщо   то:

 

Але звідси твердження також виконується для  , що суперечить мінімальності. Тому   і це доводить твердження.

Тепер маємо:

 

Тому   і звідси також   є A-модулем скінченної довжини. Оскільки довжина   як B-модуля є не більшою, ніж його довжина як A-модуля, то ця довжина є скінченною, а тому цей модуль і також I є скінченнопородженим. Тому B є нетерівським. Окрім того   має скінченну довжину як B-модуль, а тому є артіновим кільцем, тобто має розмірність 0. Звідси B має розмірність 1.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати