Теорема Круля про головний ідеал — важливе твердження у комутативній алгебрі, яке разом зі своїми наслідками є основою для означення розмірності в алгебрі і алгебричній геометрії. Теорема названа на честь австрійського математика Вольфганга Круля.
Наслідком теореми є так звана теорема Круля про висоту: якщо мінімальна кількість елементів, що породжують деякий ідеал нетерового кільця рівна m, то висота цього ідеалу не більша, ніж m.
Оскільки нас цікавлять лише прості ідеали , можна замінити A на його локалізацію. Дійсно всі прості ідеали кільця мають вигляд де — простий ідеал кільця A.
Розглянемо його простий розклад (тобто мінімальні прості ідеалиперетин яких рівний нульовому ідеалу; для нетерових кілець ці ідеали утворюють скінченну множину): . Оскільки добуток ідеалів кільця є підмножиною перетину цих ідеалів, то також , отже , містить довільний ідеал , але , оскільки всі елементи з — дільники нуля . Тому .
Припустимо, що , де — простий ідеал. Розглянемо фактор-кільце . Воно має єдиний простий ідеал , отже, є артіновим.
Це означає, що будь-який спадний ланцюжок ідеалів A, які містять a, стабілізується. Зокрема, це вірно для ланцюжка, що складається з ідеалів де позначає символічний степінь ідеала.
Отже, існує ціле k , таке що .
Беручи довільний , одержимо, що для деяких , звідки і для деякого відповідно до означення символічного степеня.
Але , отже також і .
З леми Накаями одержується рівність Справді маємо і ідеал є максимальним, тож з леми Накаями для будь-якого скінченнопородженого модуляM з рівності випливає, що Як наслідок для скінченнопородженого модуля N, що є підмодулем M з рівності випливає, що Взявши як отримуємо необхідну рівність.
Отже, і є мінімальним простим ідеалом відповідно до властивостей символічних степенів і
Спершу доведемо таке твердження. Нехай — прості ідеали нетерового кільця A і — ланцюжок простих ідеалів A, такий що для всіх і. Тоді існує ланцюжок простих ідеалів такий що для всіх і,j.
Можна припустити,що для всіх і. Замінивши A на вважатимемо, що Використовуючи індукцію щодо довжини l, можна також припустити, що для всіх і. Згідно леми про уникнення простих ідеалів існує такий, що . Елемент a не є оборотним і не є дільником нуля, оскільки за припущенням нульовий ідеал є простим. Тому, якщо — мінімальний простий ідеал, який міститься в і містить a, то за теоремою Круля про головний ідеал Оскільки то і ми одержуємо необхідний ланцюжок.
Доведення теореми про висоту здійснюється індукцією по кількості породжуючих елементів m. Випадок m = 1 випливає з теореми Круля про головний ідеал. Розглянемо ідеал де породжуюча множина містить найменшу можливі кількість елементів і нехай — відповідний мінімальний простий ідеал.
Нехай — мінімальні прості ідеали, які містять ідеал (їх кількість завжди є скінченною). Якщо для деякого і, то Припустимо, що
Розглянемо будь-який ланцюжок простих ідеалів Із попереднього можна припустити що для всіх і. Позначимо Тоді є мінімальним серед простих ідеалів що містять отже, Оскільки є всіма мінімальними простими ідеалами і то є мінімальним серед простих ідеалів що містять Тому є мінімальним серед простих ідеалів у які містять всі класи За індуктивним припущенням, тобто
David Eisenbud: Commutative Algebra. with a View Toward Algebraic Geometry Springer, New York, ISBN 0-387-94268-8, 10. The Principal Ideal Theorem an Systems of Parameters.
Michael Francis Atiyah, Ian Grant Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Westview Press, New York, ISBN 0-201-00361-9, 11 Dimension Theory.