Символічний степінь простого ідеала

В алгебрі, для кільця R і простого ідеала ${\mathfrak {p}}$, символічним степенем порядку n ідеала ${\mathfrak {p}}$ називається ідеал

${\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R=\{f\in R\mid \exists s\in R\setminus {\mathfrak {p}},\quad sf\in {\mathfrak {p}}^{n}\}.$

Висловлюючись термінологією алгебричної геометрії символічний степінь складається з функцій з нулями порядку n на многовиді визначеному ${\mathfrak {p}}$.

Властивості

• Виконуються рівності: ${\mathfrak {p}}^{(1)}={\mathfrak {p}}$ і якщо ${\mathfrak {p}}$ є максимальним ідеалом, то ${\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{n}$.
• Символічний степінь є найменшим ${\mathfrak {p}}$-примарним ідеалом, що містить ідеал ${\mathfrak {p}}^{n}$.
• Якщо кільце R є нетеровим, тоді символічний степінь є ${\mathfrak {p}}$-примарною компонентою в примарному розкладі ідеала ${\mathfrak {p}}^{n}$.
• Якщо кільце R є нетеровим і для деякого простого ідеала ${\mathfrak {p}}$ виконується рівність ${\mathfrak {p}}^{(k)}={\mathfrak {p}}^{(k+1)},$ то ідеал ${\mathfrak {p}}$ є мінімальним простим ідеалом, тобто мінімальним елементом у множині простих елементів впорядкованій щодо включення.

Справді ${\mathfrak {p}}^{(k)}={\mathfrak {p}}^{(k+1)},$ тоді і тільки тоді коли ${\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{k+1}R_{\mathfrak {p}}.$ Оскільки ${\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}$ є модулем над кільцем $R_{\mathfrak {p}}$ і ${\mathfrak {p}}^{k+1}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}$ то ми отримуємо ${\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}$ і з леми Накаями випливає, що ${\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}=\{0\}.$ З останньої рівності, зокрема, випливає що всі елементи простого ідеала ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ є нільпотентними, тобто містяться в нільрадикалі кільця. Оскільки навпаки кожен простий ідеал містить нільрадикал, то ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}={\sqrt {0}}$ і тому ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ є мінімальним простим ідеалом у кільці $R_{\mathfrak {p}}$ і, як наслідок, ${\mathfrak {p}}$ є мінімальним простим ідеалом у кільці R.

• Якщо ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {q}}$ є простими ідеалами регулярного кільця R, то також ${\mathfrak {p}}^{(n)}\subseteq {\mathfrak {q}}^{(n)}.$

Приклад

Нехай кільце $A:=\mathbb {C} [x,y,z]/(xy-z^{2})$ і ${\bar {f}}$ надалі позначатиме клас многочлена f у фактор кільці A.

Нехай ${\mathfrak {p}}:=({\bar {x}},{\bar {z}})$ (тобто ідеал породжений двома вказаними елементами). Даний ідеал є простим у кільці A. Неважко переконатися, що ${\bar {x}}\not \in {\mathfrak {p}}^{2}$ але натомість ${\bar {x}}\in {\mathfrak {p}}^{(2)}$ (дійсно ${\bar {y}}\in A\setminus {\mathfrak {p}}$ і ${\bar {x}}{\bar {y}}={\bar {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}$). Натомість ${\bar {z}}\not \in {\mathfrak {p}}^{(2)}$ і тому для даного кільця є послідовність строгих включень ідеалів ${\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {p}}^{(2)}\supset {\mathfrak {p}}^{2}.$

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії
• Melvin Hochster. Math 711: Lecture of September 7, 2007