Лема Накаями

Лема Накаями — твердження в теорії кілець що має важливі застосування зокрема в алгебраїчної геометрії. Термін застосовуєть для кількох нееквівалентних тверджень, як для комутативних так і некомутативних кілець. У комутативному випадку лема є простим наслідком результатів лінійної алгебри зокрема правила Крамера або теореми Гамільтона — Келі. Лема названа на честь японського математика Тадасі Накаями, який вперше сформулював її у досить загальнму варіанті для некомутативних кілець. Часткові випадки, зокрема і комутативний варіант були відомі і раніше.

Варіант для комутативних кілець

Твердження і доведення

Нехай R — комутативне кільце з одиницею 1, I ідеал в R, а M — скінченнопороджений модуль над кільцем R. Якщо IM = M, тоді існує a ∈ I такий, що $am=m,\,\forall m\in M$.

Доведення леми. Нехай $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ — твірні модуля M. Так як M = IM, кожен з них задовольняє рівність:

$m_{i}=a_{i1}m_{1}+a_{i2}m_{2}+\dots +a_{in}m_{n}$, де $a_{ij}$ — елементи ідеалу I. Тобто $\sum \limits _{j}(\delta _{ij}-a_{ij})m_{j}=0$.

З формули Крамера для цієї системи випливає, що для довільного j

$\operatorname {det} (\delta _{ij}-a_{ij})\cdot m_{j}=0$.

Так як $\operatorname {det} (\delta _{ij}-a_{ij})$ рівний 1 — a, для деякого a, що належить ідеалу I, лема доведена.

Наступний наслідок з доведеного твердження також відомий як лема Накаями:

Наслідок 1: Якщо в умовах леми ідеал I має властивість, що для кожного його елемента a елемент 1 — a є оборотним (наприклад, це так, якщо I міститься в радикалі Джекобсона), необхідно повинно бути M = 0.

Доведення. Існує елемент a ідеалу I, такий що $am=m,\,\forall m\in M$, отже, $(a-1)m=0,\,\forall m\in M$, домножимо зліва на елемент, обернений до 1 — a, одержуємо, що M = 0.

Застосування до модулів над локальними кільцями

Нехай R — локальне кільце, ${\mathfrak {m}}$ — максимальний ідеал в R, M — скінченнопороджений R — модуль, і $\phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M$ — гомоморфізм факторизації. Лема Накаями дає зручний засіб для переходу від модуля M над локальним кільцем R до фактор-модуля $M/{\mathfrak {m}}M$, який є скінченновимірним лінійним простором над полем $R/{\mathfrak {m}}$. Наступне твердження також вважається однією з форм леми Накаями, для цього випадку:

Елементи $m_{1},m_{2},...,m_{n}\in M$ породжують модуль M тоді і тільки тоді, коли їх образи $\,\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ породжують фактор-модуль $M/{\mathfrak {m}}M$.

Доведення. Нехай S — підмодуль в M, породжений елементами $m_{1},m_{2},...,m_{n}$, Q = M/S — фактор-модуль і $\pi :M\to Q$ — гомоморфізм факторизації. Так як $\,\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ породжують фактор-модуль $M/{\mathfrak {m}}M$, це означає, що для всякого $m\in M$ існує $s\in S$, такий що $m+s\in {\mathfrak {m}}M$. Тоді $\pi (m)=\pi (m+s)\in {\mathfrak {m}}Q$. Оскільки $\pi$ сюр'ективне, це означає, що $Q={\mathfrak {m}}Q$. Згідно леми Накаями (точніше, згідно Наслідку 1) Q = 0, тобто S = M.

Справедливим є ще один варіант леми Накаями для модулів над локальними кільцями:

Нехай $\phi :\,M\to N$ — гомоморфізм скінченнопороджених R — модулів. Він індукує гомоморфізм фактор-модулів $\phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N$. Ці гомоморфізми сюр'єктивні або не сюр'єктивні одночасно.

На основі цієї форми леми Накаями виводиться наступна важлива теорема:

Всякий скінченнопороджений проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним.

Квадрати скінченнопороджених ідеалів

Ще одним важливим наслідком леми Накаями є таке твердження: Нехай I — скінченнопороджений ідеал в комутативному кільці R і при цьому I не рівний самому кільцю і нульовому ідеалу. Тоді якщо I I = I (тобто ідеал рівний своєму квадрату), то ідеал I — головний, при чому елемент, що його породжує є ідемпотентним.

Справді оскільки скінченнопороджений ідеал є за означенням також скінченнопородженим модулем згідно леми Накаями, якщо I I = I то існує елемент e ∈ I такий, що $em=m,\,\forall m\in I$. Звідси також e e = e тобто елемент e є ідемпотентом і R e є підмножиною I оскільки e ∈ I. Звідси I = R e.

Як наслідок жоден ненульовий власний скінченнопороджений ідеал області цілісності не рівний своєму квадату. Зокрема у кільці Нетер всі ненульові власні ідеали не рівні своєму квадрату.

Некомутативний випадок

У некомутативному випадку один з варіантів леми Накаями можна сформулювати так:

Нехай R — деяке довільне кільце з одиницею 1, M — скінченнопороджений правий модуль над кільцем R. Тоді якщо J(R) позначає радикал Джекобсона то J(R) M є власним підмодулем модуля M.

Література

• М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
• Nakayama, Tadasi (1951), «A remark on finitely generated modules», Nagoya Mathematical Journal