Відкрити головне меню

Лема Накаями — твердження в теорії кілець що має важливі застосування зокрема в алгебраїчної геометрії. Термін застосовуєть для кількох нееквівалентних тверджень, як для комутативних так і некомутативних кілець. У комутативному випадку лема є простим наслідком результатів лінійної алгебри зокрема правила Крамера або теореми Гамільтона — Келі. Лема названа на честь японського математика Тадасі Накаями, який вперше сформулював її у досить загальнму варіанті для некомутативних кілець. Часткові випадки, зокрема і комутативний варіант були відомі і раніше.

Зміст

Варіант для комутативних кілецьРедагувати

Твердження і доведенняРедагувати

Нехай R — комутативне кільце з одиницею 1, I ідеал в R, а Mскінченнопороджений модуль над кільцем R. Якщо IM = M, тоді існує a ∈ I такий, що  .

Доведення леми. Нехай   — твірні модуля M. Так як M = IM, кожен з них задовольняє рівність:

 , де   — елементи ідеалу I. Тобто  .

З формули Крамера для цієї системи випливає, що для довільного j

 .

Так як   рівний 1 — a, для деякого a, що належить ідеалу I, лема доведена.

Наступний наслідок з доведеного твердження також відомий як лема Накаями:

Наслідок 1: Якщо в умовах леми ідеал I має властивість, що для кожного його елемента a елемент 1 — a є оборотним (наприклад, це так, якщо I міститься в радикалі Джекобсона), необхідно повинно бути M = 0.

Доведення. Існує елемент a ідеалу I, такий що  , отже,  , домножимо зліва на елемент, обернений до 1 — a, одержуємо, що M = 0.

Застосування до модулів над локальними кільцямиРедагувати

Нехай R — локальне кільце,   — максимальний ідеал в R, M — скінченнопороджений R — модуль, і   — гомоморфізм факторизації. Лема Накаями дає зручний засіб для переходу від модуля M над локальним кільцем R до фактор-модуля  , який є скінченновимірним лінійним простором над полем  . Наступне твердження також вважається однією з форм леми Накаями, для цього випадку:

Елементи   породжують модуль M тоді і тільки тоді, коли їх образи   породжують фактор-модуль  .

Доведення. Нехай S — підмодуль в M, породжений елементами  , Q = M/S — фактормодуль і   — гомоморфізм факторизації. Так як   породжують фактормодуль  , це означає, що для всякого   існує  , такий що  . Тоді  . Оскільки   сюр'ективне, це означає, що  . Згідно леми Накаями (точніше, згідно Наслідку 1) Q = 0, тобто S = M.

Справедливим є ще один варіант леми Накаями для модулів над локальними кільцями:

Нехай   — гомоморфізм скінченнопороджених R — модулів. Він індукує гомоморфізм фактормодулів  . Ці гомоморфізми сюр'єктивні або не сюр'єктивні одночасно.

На основі цієї форми леми Накаями виводиться наступна важлива теорема:

Всякий скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем є вільним.

Квадрати скінченнопороджених ідеалівРедагувати

Ще одним важливим наслідком леми Накаями є таке твердження: Нехай I — скінченнопороджений ідеал в комутативному кільці R і при цьому I не рівний самому кільцю і нульовому ідеалу. Тоді якщо I I = I (тобто ідеал рівний своєму квадрату), то ідеал I — головний, при чому елемент, що його породжує є ідемпотентним.

Справді оскільки скінченнопороджений ідеал є за означенням також скінченнопородженим модулем згідно леми Накаями, якщо I I = I то існує елемент e ∈ I такий, що  . Звідси також e e = e тобто елемент e є ідемпотентом і R e є підмножиною I оскільки e ∈ I. Звідси I = R e.

Як наслідок жоден ненульовий власний скінченнопороджений ідеал області цілісності не рівний своєму квадату. Зокрема у кільці Нетер всі ненульові власні ідеали не рівні своєму квадрату.

Некомутативний випадокРедагувати

У некомутативному випадку один з варіантів леми Накаями можна сформулювати так:

Нехай R — деяке довільне кільце з одиницею 1, M — скінченнопороджений правий модуль над кільцем R. Тоді якщо J(R) позначає радикал Джекобсона то J(R) M є власним підмодулем модуля M.

ЛітератураРедагувати

  • М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
  • Nakayama, Tadasi (1951), «A remark on finitely generated modules», Nagoya Mathematical Journal