Метод Крамера

(Перенаправлено з Правило Крамера)

Метод Крамера (правило Крамера) — спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (при цьому для таких рівнянь існує єдиний розв'язок). Правило Крамера виражає розв'язок через визначники квадратної матриці коефіцієнтів та матриць, отриманих шляхом заміни одного стовпця матриці коефіцієнтів вектор-стовпцем правої частини рівняння. Цей метод названий на честь Габрієля Крамера (1704—1752), який у 1750 р. представив його для довільної кількості невідомих.[1][2] Колін Маклорен також публікував особливі випадки цього правила в 1748 р.[3] (і, можливо, знав про нього ще в 1729 р.).[4][5][6]

Правило Крамера, реалізоване наївним шляхом, є неефективним для систем, що складаються більше ніж з двох або трьох рівнянь.[7] У випадку рівнянь з невідомими, воно потребує обчислення визначників, тоді як метод Гауса дає результат із такою ж обчислювальною складністю, як і обчислення одного визначника.[8][9]

Правило Крамера також може бути чисельно нестійким навіть для систем .[10] Однак нещодавно його було реалізовано за кроків,[11] що порівняно з більш поширеними методами розв'язання систем лінійних рівнянь, такими як метод Гауса (вимагається в 2,5 рази більше арифметичних операцій для всіх розмірів матриць), виявляє порівнянну числову стійкість у більшості випадків.

Загальний випадокРедагувати

Розглянемо систему з   лінійних рівнянь для   невідомих, записану в матричному вигляді

 ,

де   —   матриця з ненульовим визначником, і   — вектор-стовпець змінних. Теорема стверджує, що в цьому випадку система має єдиний розв'язок, у якому значення невідомих визначаються як

 ,

де   — матриця, утворена заміною  -го стовпця матриці   на вектор-стовпець  .

Іншими словами, для системи   лінійних рівнянь з   невідомими (над довільним полем)

 

з визначником матриці системи  , що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:

 

( -й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).

Також правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів   виконується рівність:

 

У такій формі формула Крамера справедлива без припущення, що   не рівне нулю, не треба, навіть, аби коефіцієнти системи були елементами цілісного кільця (визначник системи навіть може бути дільником нуля у кільці коефіцієнтів). Також можна вважати, що або набори   та  , або набір   складаються не з елементів кільця коефіциєнтів системи, а деякого модуля над цим кільцем. В такому вигляді формула Крамера використовується, наприклад, при доведенні формули для визначника Грама і Леми Накаями.

Більш загальна версія правила Крамера[12] розглядає матричне рівняння

 

де   —   матриця з ненульовим визначником, а  ,   —   матриці. Розглянемо послідовності   та  . Нехай   —   підматриця   з рядками   та стовпцями  ,   —   матриця, утворена заміною   стовпця матриці   на   стовпець матриці  , для всіх  . Тоді

 

У випадку  , це зводиться до звичайного правила Крамера.

Метод справедливий для систем рівнянь з коефіцієнтами та невідомими над будь-яким полем, а не лише у випадку дійсних чисел.

ДоведенняРедагувати

Доведення правила Крамера використовує такі властивості визначника: лінійність відносно будь-якого фіксованого стовпця і той факт, що визначник дорівнює нулю, коли два стовпці рівні (це випливає із властивості, що знак визначника змінюється на протилежний, якщо переставити два стовпці).

Зафіксуємо  -й стовпець. Лінійність означає наступне: якщо розглядаємо лише стовпець   як змінну (фіксуючи інші довільно), отримана функція   (вважаємо елементи матриці дійсними числами) може бути задана матрицею, з одним рядком і   стовпцями, що діє на  -й стовпець. Насправді, це саме те, що й теорема Лапласа: записуючи   для певних коефіцієнтів  , які залежать від стовпців матриці  , відмінних від стовпця   (точний вигляд для цих мінорів тут неважливий). Тоді значення   є результатом застосування однорядкової матриці   до стовпця   матриці  . Якщо   застосовано до будь-якого іншого стовпця   матриці  , то результатом є визначник матриці, отриманої з матриці  , заміною стовпця   на копію стовпця  , тому отриманий визначник дорівнює   (випадок двох рівних стовпців).

Тепер розглянемо систему   лінійних рівнянь з   невідомими  , матрицею коефіцієнтів якої є   з ненульовим визначником  ,

 

Якщо об'єднати ці рівняння, взявши  , помножене на перше рівняння, додати  , помножене на друге, і так далі, поки   домножиться на останнє рівняння, то коефіцієнт при   буде дорівнювати  , тоді як коефіцієнти при всіх інших невідомих стають нулями; ліва частина набуває вигляду  . Права частина — це  , тобто  , застосований до вектора-стовпця   утвореного правими частинами  . Насправді, те, що було зроблено тут, — домноження матричного рівняння   зліва на  . Поділивши на ненульове число  , знаходимо наступне рівняння, що задовольняє систему:

 

Але, за побудовою, чисельник є визначником матриці, отриманої з матриці  , заміною стовпця   на  , тому отримуємо вираз для правила Крамера як необхідну умову розв'язку. Цю саму процедуру треба повторити для решти  , щоб знайти значення інших невідомих.

Залишається довести, що ці значення для невідомих єдині та дійсно разом утворюють розв'язок системи. Але, якщо матриця   невироджена з оберненою матрицею  , то   буде розв'язком, що й доводить його існування. Покажемо, що матриця   має обернену, якщо   ненульовий. Розглянемо   матрицю  , отриману шляхом складання одна над одною однорядкових матриць   при   (це дає приєднану матрицю для матриці  ). Було показано, що  , де   з'являється на позиції  ; з цього випливає, що  . Отже,

 

що і завершує доведення

Інші доведення див.нижче.

ПрикладРедагувати

Система лінійних рівнянь:

 

Визначники:

 

Розв'язок:

 


Приклад:

 

Визначники:

 

 

Знаходження оберненої матриціРедагувати

Нехай   —   матриця з елементами в полі  . Тоді

 

де   — приєднана матриця,   — визначник матриці  , а   — одинична матриця. Якщо визначник   ненульовий, то оберненою до   є матриця

 

Це дає формулу для оберненої до   матриці, за умови, що  . Насправді ця формула працює, коли   є комутативним кільцем, за умови, що   є одиницею кільця. Якщо   не є одиницею, то   не має оберненої над кільцем (вона може мати обернену над більшим кільцем, в якому деякі не одиничні елементи поля   можуть мати обернені).

ЗастосуванняРедагувати

Явні формули для n=2 та n=3Редагувати

Розглянемо лінійну систему

 

яка у матричній формі має вигляд

 

Нехай значення   ненульове. Тоді, за допомогою визначників,   і   можуть бути знайдені за правилом Крамера як

 

Правила для матриць   аналогічні. Розглянемо систему

 

яка у матричній формі має вигляд

 

Тоді значення  ,   та   можна знайти наступним чином:

  та  

Диференціальна геометріяРедагувати

Числення РіччіРедагувати

Правило Крамера використовується в численні Річчі[en] при різних розрахунках із залученням символів Крістофеля першого та другого роду.[13]

Зокрема, за правилом Крамера можна довести, що оператор дивергенції на многовиді Рімана є інваріантним відносно заміни координат. Наводимо пряме доведення, опускаючи роль символів Крістофеля. Нехай   — многовид Рімана, з локальними координатами[en]  . Нехай   — векторне поле. Використовуємо нотацію Ейнштейна для підсумовування.

Теорема.
Дивергенція векторного поля  ,
 
є інваріантною при заміні координат.

Обчислення неявних похіднихРедагувати

Розглянемо два рівняння   та  . Якщо   і   є незалежними змінними, то можемо визначити   та  .

Вираз для   можна знайти, застосувавши правило Крамера.

Цілочисельне програмуванняРедагувати

Правило Крамера може бути використане для доведення, що задача цілочисельного програмування, матриця обмежень якої є унімодулярною матрицею, а правою частиною є ціле число, має цілочисельні базисні розв'язки. Це значно спрощує розв'язання цілочисельної програми.

Звичайні диференціальні рівнянняРедагувати

Правило Крамера використовується для виведення загального розв'язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння методом варіації параметрів (метод варіації довільних сталих).

Геометрична інтерпретаціяРедагувати

 
Геометрична інтерпретація правила Крамера. Площі другого та третього заштрихованих паралелограмів однакові, а площа другого дорівнює площі першого домноженій на  . З цієї рівності випливає правило Крамера.

Правило Крамера має геометричну інтерпретацію, яку також можна розглядати як доведення або для розуміння його геометричного змісту. Ці геометричні аргументи працюють загалом, а не лише у випадку двох рівнянь із двома невідомими, що представлений тут.

Задану систему рівнянь

 

можна розглядати як рівняння між векторами

 

Площа паралелограма, визначеного векторами   і  , задається визначником системи рівнянь:

 

У загальному випадку, коли є більше змінних та рівнянь, визначник з   векторів довжини   — це об'єм паралелепіпеда, що побудований на цих векторах в  -вимірному евклідовому просторі.

Отже, площа паралелограма, визначеного   і  , дорівнює   помножено на площу першого, оскільки одну зі сторін помножили на цей коефіцієнт. Тепер останній паралелограм, за принципом Кавальєрі, має ту ж площу, що і паралелограм, визначений через   та  

Прирівнювання площ останнього та другого паралелограма дає рівняння

 

з якого випливає правило Крамера.


Інші доведенняРедагувати

Доведення з використанням лінійної алгебриРедагувати

Це передоведення наведеного вище твердження абстрактною мовою.

Розглянемо відображення   де   — матриця   у якій  -й стовпчик замінено на вектор   як і у правилі Крамера. Внаслідок лінійності визначника у кожному стовпці це відображення є лінійним. Підкреслимо, що воно відображає  -й стовпець матриці   в  -й базисний вектор    на  -му місці), оскільки визначник матриці з однаковими стовпцями дорівнює  . Отже, маємо лінійне відображення, яке узгоджується з оберненням матриці   у просторі стовпців; звідси, воно узгоджується з матрицею   на лінійній оболонці простору стовпців. Оскільки матриця   невироджена, лінійна оболонка векторів стовпців — весь простір  , тому відображення дійсно є оберненим до матриці  . Що і доводить правило Крамера.

Коротке доведенняРедагувати

Коротке доведення правила Крамера[14] можна навести, помітивши, що   є визначником матриці

 

З іншого боку, якщо припустити, що наша початкова матриця   є невиродженою, то матриця   має стовпці  ,  ,  ,  , де   — це  -й стовпець матриці  . Нагадаємо, що матриця   має стовпці  ,  ,  ,  , а тому  . Отже, оскільки визначник добутку двох матриць є добутком визначників, то

 

Доведення для інших   аналогічне.

Несумісні та невизначені випадкиРедагувати

Система рівнянь називається несумісною або суперечною[en], коли не існує розв'язків, і вона називається невизначеною[en], коли існує більше одного розв'язку. Для лінійних рівнянь невизначена система матиме нескінченно багато розв'язків (у випадку нескінченного поля), які можна виразити через один або кілька параметрів, що набувають довільних значень.

Правило Крамера застосовується у випадку, коли визначник, складений з коефіцієнтів, ненульовий. У випадку  , якщо визначник дорівнює нулю і визначники чисельника відмінні від нуля, то система несумісна. Якщо визначники чисельника дорівнюють нулю, то система невизначена.

Для систем   або вище єдине, що можна сказати, якщо визначник коефіцієнтів дорівнює нулю і будь-який з визначників чисельника ненульовий, то система має бути несумісною. Однак випадок усіх нульових визначників не означає, що система є невизначеною. Простим прикладом системи, у якій всі визначники дорівнюють нулю, але система, як і раніше, несумісна, є система  

 

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ДжерелаРедагувати

ПосиланняРедагувати

  1. Cramer, Gabriel (1750). Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (фр.). Geneva: Europeana. с. 656–659. Архів оригіналу за 15 вересня 2019. Процитовано 18 травня 2012. 
  2. Kosinski, A. A. (2001). Cramer's Rule is due to Cramer. Mathematics Magazine 74: 310–312. doi:10.2307/2691101. 
  3. MacLaurin, Colin (1748). A Treatise of Algebra, in Three Parts.. 
  4. Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics (вид. 2nd). Wiley. с. 431. 
  5. Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (вид. Brief). Pearson Education. с. 378–379. 
  6. Hedman, Bruce A. (1999). An Earlier Date for "Cramer's Rule". Historia Mathematica 26 (4): 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247. Архів оригіналу за 21 липня 2018. Процитовано 6 травня 2021. 
  7. David Poole (2014). Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning. с. 276. ISBN 978-1-285-98283-0. 
  8. Joe D. Hoffman; Steven Frankel (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition,. CRC Press. с. 30. ISBN 978-0-8247-0443-8. 
  9. Thomas S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer Science & Business Media. с. 132. ISBN 978-0-387-48947-6. 
  10. Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms: Second Edition. SIAM. с. 13. ISBN 978-0-89871-521-7. 
  11. Ken Habgood; Itamar Arel (2012). A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems. Journal of Discrete Algorithms 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. Архів оригіналу за 13 липня 2018. Процитовано 6 травня 2021. 
  12. Zhiming Gong; M. Aldeen; L. Elsner (2002). A note on a generalized Cramer’s rule. Linear Algebra and its Applications 340: 253–254. doi:10.1016/S0024-3795(01)00469-4. 
  13. Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. с. 111–112. ISBN 9780486634012. 
  14. Robinson, Stephen M. (1970). A Short Proof of Cramer's Rule. Mathematics Magazine 43: 94–95.