Лема про уникнення простих ідеалів

У комутативній алгебрі лема про уникнення простих ідеалів стверджує:

Нехай R — комутативне кільце і I — ідеал у кільці R, який є підмножиною об'єднання скінченної кількості простих ідеалів P₁, … , P_n. Тоді I міститься у деякому із простих ідеалів P_i.

Існує також версія для градуйованих кілець:

Нехай B — комутативне градуйоване кільце з одиницею. Нехай P₁, … , P_n є простими ідеалами кільця B і I є однорідним ідеалом у B породженим елементами додатного порядку. Припустимо кожен однорідний елемент ідеалу I належить об'єднанню ідеалів P_i. Тоді I є підмножиною одного із ідеалів P_i.

Лема найчастіше використовується у такому виді: якщо ідеал I не є підмножиною жодного простого ідеалу P_i, то існує елемент у I, що не належить жодному із P_i.

В алгебричній геометрії, внаслідок леми, якщо у афінній схемі SpecR є задано скінченна кількість точок, що не належать замкнутій множині V(I), тоді ці точки також не належать деякій замкнутій множині V(f), що містить V(I). З версії для градуйованих кілець випливає, що у проективному многовиді кожна скінченна множина точок належить деякій відкритій афінній підмножині.

Доведення

Доведення здійснюється індукцією по кількості простих ідеалів n. Для n = 1, твердження є тривіальним. Припустимо, що лема є доведеною для n – 1 (n > 1) і ідеал I не міститься у жодному P_i. Згідно припущення індукції для всіх k ≤ n існує елемент x_k ідеалу I який не належить об'єднанню P_i для i ≠ k. Тоді для всіх k також $x_{k}\in P_{k}$ (в іншому випадку I не буде підмножиною об'єднання всіх простих ідеалів). Розглянемо елемент x = x_n + x₁x₂…x_n–1 ідеалу I. Тоді x_n ∈ P_n і x₁x₂…x_n–1 ∉ P_n (оскільки P_n є простим ідеалом) тому x ∉ P_n. Також для всіх k < n, x_n ∉ P_k і x₁x₂…x_n–1 ∈ P_k, тож x ∉ P_k. Тому, x не є елементом жодного P_i, що завершує доведення.

Приклад

Загалом твердження леми буде невірним, якщо замість простих ідеалів взяти довільні.

Нехай $R={\mathbb {Z} }[X,Y]$ і розглянемо ідеали $I=2R+XR+YR$ і $J_{1}=2R+X^{2}R+YR,\quad J_{2}=2R+XR+Y^{2}R,\quad J_{3}=2R+(X+Y)R+X^{2}R+Y^{2}R+XYR.$ Тоді I міститься у об'єднанні J_i (це можна перевірити у факторкільці $R/(2R+X^{2}R+Y^{2}R+XYR)$ яке є локальним кільцем із 4 елементами), але I не міститься у жодному J_i.

Проте якщо R містить нескінченне поле, чи є кільцем головних ідеалів, то P_i можуть бути довільними ідеалами.

Література

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 0879273