Слабка похідна

«Слабка похідна» (в математиці) — узагальнене поняття похідної функції («сильна похідна») для функцій, інтегровних за Лебегом (тобто з простору $L_{1}$), але не диференційовних.

Визначення

Нехай $u$ — функція з $L^{1}([a,b])$. Функцію $v(t)$ з $L^{1}([a,b])$ називають «слабкою похідною» $u$, якщо

$\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt$

для усіх неперервно диференційовних функцій $\varphi$ при $\varphi (a)=\varphi (b)=0$. Це визначення засновано на методі інтегрування частинами.

Узагальнюючи на $n$ вимірів, якщо $u$ і $v$ належать простору $L_{loc}^{1}(U)$ локально інтегровних функцій для деякої області $U\subset \mathbb {R} ^{n}$, і якщо $\alpha$ — це мультиіндекс, то $v$ називається слабкою похідною $u$ порядку $\alpha$, якщо

$\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi$

для усіх $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$ — фінітних в $U$ нескінченно гладких функцій.

Якщо у функції $u$ є слабка похідна, то її часто позначають через $D^{\alpha }u$, тому що вона єдина з точністю до множини міри нуль.

Приклади

• Функція u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, яка не має похідної в точці t = 0, проте має на проміжку [−1, 1] слабку похідну v, так звану «функцію знаку» (sgn), визначену таким співвідношенням:

$v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0;\\-1,&t<0.\end{cases}}$

Це не єдина похідна u: усіляка функція w, що збігається з v, майже скрізь також буде слабкою похідною u. Як правило це не є проблемою, так як з точки зору просторів L^p та просторів Соболєва вони еквівалентні.

• Характеристична функція множини раціональних чисел D (Функція Діріхле) ніде не диференційована, але слабку похідну має усюди. Через те, що міра Лебега раціональних чисел дорівнює нулю, то

$\int D(t)\varphi (t)dt=0$

Таким чином, $v(t)\equiv 0$ є слабка похідна функції D. Це має бути інтуїтивно зрозуміло, адже D в просторі L^p еквівалентна тотожному нулю.

Властивості

• Якщо дві функції є слабкими похідними однієї і тієї ж функції, то вони збігаються на множині повної міри (майже скрізь). Якщо, як прийнято в просторах $L_{p}$, покладати майже скрізь рівні функції еквівалентними, то слабка похідна визначена єдиним чином.

• Якщо u має звичайну («сильну») похідну, тоді вона буде слабкою похідною. В цьому сенсі, слабка похідна є узагальненою сильною. Більш того, класичні правила для похідних від суми і від добутку функцій зберігаються для слабких похідних також.

Розвиток

Поняття слабкої похідної заклало основу для побудови т. з. слабких рішень в просторі Соболєва, які виявилися корисними в теорії диференціальних рівнянь і в функціональному аналізі.

Література

• Михлин С. Г. Курс математической физики, Спб.: Лань, 2002
• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. , Уральцева Н .Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1973