Системи координат в елементарній математиці

Координати точки — це набір чисел, або точніше кортеж чисел, який визначає її розташування на площині або в просторі.

Система координат — це площина або простір, в якому визначений початок координат та осі, що є необхідними передумовами для обчислення координат точки.

Декартові координатиРедагувати

 
Координатна площина з 4 чвертями.

У двововимірній системі Декартових координат, розташування точки P на xy-площині визначається парою чисел  .

  •   — відстань від точки P до осі y або значення абсциси (з урахуванням знаку)
  •   — відстань від точки P до осі x або значення ординати (з урахуванням знаку)

В тривимірній системі Декартових координат, точка P в xyz-просторі локалізується вже за допомогою трьох параметрів:  .

  •   — відстань від точки P до площини yz
  •   — відстань від точки P до площини xz
  •   — відстань від точки P до площини xy

Полярні координатиРедагувати

 
Полярні координати.

Полярна система координат — це така система координат, в якій розташування точки визначається парою чисел, одне з яких визначає відстань по прямій лінії від заданої точки до початку координат (так званого полюса), а інші — кути, утворені цією лінією з осями системи координат.

Терміном полярні координати користуються для полярної системи координат на площині. Для орієнтації в просторі застосовують циліндричні та сферичні системи координат.

Циліндричні координатиРедагувати

Циліндрична система координат — це тривимірна полярна система координат.

 
Циліндричні координати.

У циліндричній системі координат, точка P репрезентується трикомпонентним кортежем  . В термінах Декартової системи координат,

  •   (радіус) — відстань від осі z до точки P,
  •   (азимут або довгота) — кут між позитивною («плюсовою») частиною осі x та прямої лінії, уявно проведеної від полюса до точки P, зпроектованої на xy-площину
  •   (висота) — відстань (з врахуванням знаку) від xy-площини до точки P.
Примітка: в літературі можна зустріти позначку   для  ; це не принципово, але потрібно слідкувати, які позначки застосовуються.

Полярні координати мають один недолік[джерело?]: значення   втрачає сенс, якщо  .

Циліндричні координати корисні для вивчення систем, симетричних навколо якоїсь осі. Наприклад, нескінченно довгий циліндр у декартових координатах має рівняння  , тоді як у циліндричних воно виглядає як r=c

Сферичні координатиРедагувати

 
Сферичні координати.

Сферична система координат — це тривимірна полярна система координат.

Позначення, прийняті в АмериціРедагувати

У сферичній системі координат, розташування точки P визначається трьома компонентами: . В термінах Декартової системи координат,

  •   (радіус) — це відстань від точки Р до полюса,
  •   (широта або полярний кут) — кут між z-віссю і прямою, проведеною з полюсу до точки P
  •   (азимут або довгота) — кут між позитивною («плюсовою» x-віссю та проекцією прямої, проведеною з полюсу до точки P на xy-площину.
Примітка: в літературі можна зустріти позначку   або   , а також   для ρ;

Сферична система координат також має недолік:[джерело?]   втрачає сенс якщо  , також і   втрачає сенс, якщо   або φ=0 or φ=180°.

Для побудови точки за її сферичними координатами, потрібно: від полюсу відкласти відрізок, рівний   уздовж позитивної z-осі, повернути його на кут   навколо осі y у напрямі позитивної x-осі, та повернути на кут   навколо z-осі в напряму позитивної y-осі.

Сферичні координати корисні при вивченні систем, симетричних навколо точки. Так, рівняння сфери в декартових координатах виглядає як  , тоді як у сферичних стає набагато простішим:  .

Європейські позначенняРедагувати

В Європі заведено використовувати інші позначення.[джерело?] Положення точки задається числами:  , де r — віддаль від точки до початку координат,   — полярний кут, який змінюється в межах від 0 до π,   — азимутальний кут, який змінюється в межах від 0 до 2π. Тобто, в європейській системі, яка застосовується також і в Україні, позначення для кутів переставлені у порівнянні з американською.

Перехід від однієї системи координат до іншоїРедагувати

Декартові та полярніРедагувати

 
 
 
 

де u0 — функція Хевісайда з  , а sgn — функція signum. Тут функції u0 та sgn використовуються як «логічні» перемикачі, аналогічні за значенням операторам «якщо..то» (if…else) в мовах програмування. Деякі мови програмування мають спеціальну функцію atan2(y, x), яка знаходить вірне значення θ в необхідному квадранті, визначеному x та y.

Декартові та циліндричніРедагувати

 
 
 
 
 
 
 
 

Декартові та сферичніРедагувати

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Циліндричні та сферичніРедагувати

 
 
 
 
 
 
 
 

Див. такожРедагувати