Відкрити головне меню

Аналіти́чна геоме́трія, розділ геометрії, у якому властивості геометричних об'єктів (точок, ліній, поверхонь) установлюються засобами алгебри за допомогою методу координат, тобто шляхом дослідження властивостей рівнянь, які і визначають ці об'єкти. Основні положення аналітичної геометрії вперше сформулював філософ і математик Рене Декарт в 1637 році. Лейбніц, Ісаак Ньютон і Леонард Ейлер надали аналітичній геометрії сучасної структури.

Зміст

ІсторіяРедагувати

Створення аналітичної геометрії зазвичай приписують Рене Декарту, який виклав її основи в La Geometrie (Геометрія) , одного з трьох додатків, опублікованих в 1637 році разом зі своїм трактатом Міркування про метод. Спочатку робота не була добре прийнята, але після переведення латинською та додавання коментарів ван Схотена в 1649, трактат Декарта отримав належне визнання.

КоординатиРедагувати

Докладніше: Система координат
 
Ілюстрація декартової системи координат. Чотири відмічені точки позначені їх координатами: (2,3) зеленим, (−3,1) червоним, (−1.5,−2.5) синім, і початок координат (0,0) пурпуровим.

В аналітичній геометрії, двовимірний простір задається системою координат, в якій кожна точка маж пару координат у формі дійсних чисел. Аналогічним чином, Евклідів простір представлено координатами, де кожна точка має три координати. Значення координат залежить від вибору точки початкового відліку. Існує велика кількість різних систем координат, але найбільш загальними є наступні:[1]

Декартові координати (на площині або в просторі)Редагувати

Найбільш поширеною системою координат, яку використовують є Декартова система координат, в якій кожна точка має x-координату, яка задає її горизонтальну позиції та y-координату, яка задає її вертикальну позицію. Вони як правило записуються як впорядкована пара (xy). Цю систему можна використовувати і для тривимірної геометрії, де кожна точка в Евклідовому просторі представляється впорядкованою трійкою координат (xyz).

Полярні координати (на площині)Редагувати

У полярній системі координат, кожна точка на площині представлена її відстанню r від початку координат і її кутом θ від полярної осі.

Циліндричні координати (у просторі)Редагувати

У циліндричних координатах, кожна точка простору задається її висотою z, радіусом r від осі z та кутом θ відносно її проекції на площину xy по відношенню до горизонтальної осі.

Сферичні координати (у просторі)Редагувати

У сферичних координатах, кожна точка в просторі представлена її відстанню ρ від початку відліку, кутом θ її проекції на xy-площину по відношенню до горизонтальної осі, і кутом φ яку вона утворює із віссю z. Назви кутів у фізиці як правило можуть бути обернені навпаки.[1]

ОсновиРедагувати

Характерною особливістю аналітичної геометрії є визначення геометричних фігур рівняннями. Нехай на площині з осями координат OX і OY (прямокутна декартова система координат) маємо лінію l. Якщо вздовж l пересувати точку M, то координати x, y цієї точки будуть змінюватись, але між ними існуватиме певна залежність, яку можна записати у вигляді рівняння:

 ,

де   є математичний вираз, що містить змінні x і y або одну з них.

Наприклад, з прямокутного трикутника OMP виводимо, що рівняння кола K радіуса г з центром в початку координат 0 є

 .

Розглянемо ще пряму АВ. Якщо М є довільна її точка і OA = a, OB = b, то PA = a — x. З подібності прямокутних трикутників MPA і BOA маємо:

 .

Звідси дістаємо рівняння прямої АВ:

 .

В аналітичній геометрії приймають, що рівняння визначає геометричну фігуру як множину точок, координати х та у яких справджують це рівняння. Інакше кажучи, рівняння розглядають як засіб для поділу точок площини на 2 класи: до 1-го належать точки, координати яких справджують дане рівняння (ці точки утворюють визначену рівнянням фігуру), до 2-го — всі інші точки площини. Якщо рівняння алгебраїчне, то воно визначає лінію — дійсну чи уявну (див. нижче), яку називають алгебраїчною, а степінь рівняння — порядком цієї лінії. Порядок алгебраїчної лінії не залежить від того, як розміщені відносно неї осі координат. Прямі і тільки прямі є лініями 1-го порядку; конічні перерізи (тобто лінії, що утворюються при перетині конуса площиною) і тільки вони є лініями 2-го порядку. Аналогічно рівняння  , де   — декартові координати точки у просторі, визначає просторову фігуру, зокрема алгебраїчну поверхню n-го порядку, якщо воно є алгебраїчним рівнянням n-го степеня. В сучасних курсах аналітичної геометрії вивчаються тільки лінії і поверхні 1-го та 2-го порядків.

Застосування в аналітичній геометрії алгебраїчних методів привело до поняття уявної фігури. Сукупність двох чисел   з яких принаймні одне уявне, можна розглядати як уявну точку. Якщо рівняння (наприклад ,  ) справджують лише координати уявних точок, то вважають, що воно визначає уявну фігуру. Хоч поняттям нескінченно віддалених і уявних точок не відповідають жодні реальні образи, проте запровадження їх дозволило глибше досліджувати властивості фігур.

В сучасних курсах аналітичної геометрії широко використовується апарат векторного числення.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Аналітична геометрія // УРЕ
  • Аналітична геометрія : підруч. для студ. вищ. техн. навч. закл. / Б. В. Гриньов, І. К. Кириченко. — Х. : Гімназія, 2008. — 340 с.
  • Білоусова В. П. та ін. Аналітична геометрія. К., 1957.
  • Б. М. Бокало. Навчально-методичний посібник з аналітичної геометрії. — Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка, 2008. — 262 с. (укр.)
  • Лінійна алгебра та аналітична геометрія : навч. посіб. / О. М. Рибицька, Д. М. Білонога, П. І. Каленюк ; М-во освіти і науки, молоді та спорту України, Нац. ун-т "Львів. політехніка". — Л. : Вид-во Львів. політехніки, 2011. — 124 с. : іл. — Бібліогр.: с. 116 (10 назв). — ISBN 978-617-607-142-6 : 1
  • Основи аналітичної геометрії та лінійної алгебри : Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Б. В. Ковальчук, Б. М. Тріщ; Львів. нац. ун-т ім. І.Франка. - Л., 2002. - 279 c. - Бібліогр.: 7 назв.
  • Привалов И. И. Аналитическая геометрия. Изд. 22. М., 1957. (рос.)
  • Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия, т. 1—2. М.—Л., 1948—49. (рос.)

ПосиланняРедагувати

  • а б Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8