Експоненційні поліноми Белла
ред.
Часткові або неповні експоненційні поліноми Белла — це трикутний масив поліномів, заданий
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
=
∑
n
!
j
1
!
j
2
!
⋯
j
n
−
k
+
1
!
(
x
1
1
!
)
j
1
(
x
2
2
!
)
j
2
⋯
(
x
n
−
k
+
1
(
n
−
k
+
1
)
!
)
j
n
−
k
+
1
,
{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},}
де сума береться за всіма послідовностями j 1 , j 2 , j 3 , ..., j n — k +1 невід’ємних цілих чисел, таким чином, що б виконувалися наступні дві умови :
j
1
+
j
2
+
⋯
+
j
n
−
k
+
1
=
k
,
{\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}
j
1
+
2
j
2
+
3
j
3
+
⋯
+
(
n
−
k
+
1
)
j
n
−
k
+
1
=
n
.
{\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}
Сума
B
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
називається n- м повним експоненційними полінонмоми Белла .
Звичайні поліноми Белла
ред.
Так само часткові звичайні поліноми Белла, на відміну від звичайного експоненціального многочлена Белла, визначений вище, задається формулою
B
^
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
=
∑
k
!
j
1
!
j
2
!
⋯
j
n
−
k
+
1
!
x
1
j
1
x
2
j
2
⋯
x
n
−
k
+
1
j
n
−
k
+
1
,
{\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}
де сума пробігає всі послідовності j 1 , j 2 , j 3 , ..., j n – k +1 невід'ємних цілих чисел, таких що
j
1
+
j
2
+
⋯
+
j
n
−
k
+
1
=
k
,
{\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}
j
1
+
2
j
2
+
⋯
+
(
n
−
k
+
1
)
j
n
−
k
+
1
=
n
.
{\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}
Звичайні поліноми Белла можна виразити в термінах експоненційних поліномів Белла:
B
^
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
=
k
!
n
!
B
n
,
k
(
1
!
⋅
x
1
,
2
!
⋅
x
2
,
…
,
(
n
−
k
+
1
)
!
⋅
x
n
−
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}
Як правило, під поліномами Белла маються на увазі експоненційні поліноми Белла, якщо не зазначено іншого.
Експоненційні поліноми Белла безпосередньо стосується способів розбиття множин. Наприклад, якщо ми розглядаємо множину {A, B, C}, її можна розбити на два непусті, підмножини що не перетинаються, які також називають частинами або блоками, 3 різними способами:
{{A}, {B, C}}
{{B}, {A, C}}
{{C}, {B, A}}
Таким чином, ми можемо закодувати інформацію щодо цих розбиттів як
B
3
,
2
(
x
1
,
x
2
)
=
3
x
1
x
2
.
{\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}
Тут підписники B 3,2 говорять нам, що ми розглядаємо поділ набору з 3-х елементів на 2 блоки. Підрядник кожного x i вказує на наявність блоку з елементами j (або блоку розміру i ) в заданому розділі. Отже, x 2 вказує на наявність блоку з двома елементами. Аналогічно, x 1 вказує на наявність блоку з одним елементом. Експонент x i j вказує на те, що в одному розбитті є j таких блоків розміром i . Тут, оскільки і x 1 , і x 2 є експонент 1, це вказує, що в даному розділі є лише один такий блок. Коефіцієнт одночлена вказує, скільки таких перегородок є. У нашому випадку є 3 розділи набору з 3 елементами на 2 блоки, де в кожній секції елементи розділені на два блоки розмірами 1 і 2.
Оскільки будь-який набір може бути розділений на один блок лише одним способом, вищезгадане тлумачення означало б, що B n ,1 = x n . Аналогічно, оскільки існує лише один спосіб поділу множини з n елементами на n одиниць, B n ,n = x 1 n .
Як складніший приклад розглянемо
B
6
,
2
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
=
6
x
5
x
1
+
15
x
4
x
2
+
10
x
3
2
{\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}
Це говорить нам про те, що якщо набір з 6 елементами розділений на 2 блоки, то ми можемо мати 6 розділів з блоками розміру 1 і 5, 15 розділів з блоками розміру 4 і 2, і 10 розділів з 2 блоками розміром 3.
Сума підписок у монометах дорівнює загальній кількості елементів. Таким чином, кількість одночленів, що з'являються в частковому многочлені Белла, дорівнює кількості способів, що ціле число n може бути виражене як підсумок k додатних цілих чисел. Це і є розбиття числа n на k частин. Наприклад, у вище наведених прикладах ціле число 3 можна розділити на дві частини лише як 2 + 1. Таким чином, у B 3,2 містить лише один одночлен. Однак ціле число 6 можна розділити на дві частини як 5 + 1, 4 + 2 і 3 + 3. Таким чином, B 6,2 містить три одночлени. Дійсно, індекси змінних у мономери такі самі, як ті, які задаються цілим розділом, що вказує на розміри різних блоків. Таким чином, загальна кількість одночленів, що з'являються в повному поліномі Белла Bn , дорівнює загальній кількості розбиттів числа n .
Також ступінь кожного одночлена, що є сумою експонентів кожної змінної в мономі, дорівнює кількості блоків, на які поділяється множина. Тобто j 1 + j 2 + ... = k . Таким чином, задавши повний многочлен Белла B n , ми можемо відокремити частковий многочлен Белла Bn,k , зібравши всі ці мономи зі ступенем k .
Нарешті, якщо знехтувати розмірами блоків і поставити всі x i = x , то підсумовування коефіцієнтів часткового многочлена Белла B n , k дасть загальну кількість способів розподілу множини з n елементів k блоки, що те саме, що числа Стірлінга другого роду . Крім того, підсумовування всіх коефіцієнтів повного многочлена Белла Bn дасть нам загальну кількість способів поділити набір з п елементами на підмножини, що не перекриваються, що те саме, що і число Белла.
Загалом, якщо ціле число n розбиттів на суму, в якій «1» з'являється j 1 раз, «2» з'являється j 2 рази і так далі, то кількість розбиття множини розміром n, які згортаються до цього розділу цілого числа n, коли члени множини стають невідрізними, — це відповідний коефіцієнт у многочлени.
Нехай, ми маємо
B
6
,
2
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
=
6
x
5
x
1
+
15
x
4
x
2
+
10
x
3
2
{\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}
оскільки є
6 способів розбити множину 6 як 5 + 1,
15 способів розбити множину 6 як 4 + 2, і
10 способів розбити множину 6 як 3 + 3.
Подібно
B
6
,
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
=
15
x
4
x
1
2
+
60
x
3
x
2
x
1
+
15
x
2
3
{\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}
оскільки є
15 способів розбити множину 6 на 4 + 1 + 1,
60 способів розділити множину 6 як 3 + 2 + 1, і
15 способів розбити множину 6 як 2 + 2 + 2.
Експоненційні часткові поліноми Белла можна визначити подвійним розкладом у ряд його генератриси:
Φ
(
t
,
u
)
=
exp
(
u
∑
j
=
1
∞
x
j
t
j
j
!
)
=
∑
n
≥
k
≥
0
B
n
,
k
(
x
1
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
t
n
n
!
u
k
=
1
+
∑
n
=
1
∞
t
n
n
!
∑
k
=
1
n
u
k
B
n
,
k
(
x
1
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}
Інакше кажучи, що є фактично те ж саме, шляхом розкладу у ряд k- го степеню:
1
k
!
(
∑
j
=
1
∞
x
j
t
j
j
!
)
k
=
∑
n
=
k
∞
B
n
,
k
(
x
1
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
t
n
n
!
,
k
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }
Повні експоненційні поліноми Белла визначається за допомогою
Φ
(
t
,
1
)
{\displaystyle \Phi (t,1)}
або інакше:
Φ
(
t
,
1
)
=
exp
(
∑
j
=
1
∞
x
j
t
j
j
!
)
=
∑
n
=
0
∞
B
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
t
n
n
!
.
{\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}
Таким чином, n -й повні поліноми Белла задається як
B
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
(
∂
∂
t
)
n
exp
(
∑
j
=
1
∞
x
j
t
j
j
!
)
|
t
=
0
.
{\displaystyle B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left.\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)\right|_{t=0}.}
Так само звичайні часткові поліноми Белла можна визначити твірною функцією
Φ
^
(
t
,
u
)
=
exp
(
u
∑
j
=
1
∞
x
j
t
j
)
=
∑
n
≥
k
≥
0
B
^
n
,
k
(
x
1
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
t
n
u
k
k
!
.
{\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}
Або, що еквівалентно, розкладом у ряд k -ї степеня:
(
∑
j
=
1
∞
x
j
t
j
)
k
=
∑
n
=
k
∞
B
^
n
,
k
(
x
1
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
t
n
.
{\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}
Дивись також перетворення твірної функції для розкладу у ряд твірної функцій поліномів Белла що є композицією послідовностей твірних функцій та степенів , логаритмів та експоненційної функції, що послідовності твірних функцій. Кожна з цих формул можна знайти у відповідних розділах праці Комтета.
Рекурентні співвідношення
ред.
Повні поліноми Белла можна визначити за допомогою рекурентних співвідношень як
B
n
+
1
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
=
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
B
n
−
i
(
x
1
,
…
,
x
n
−
i
)
x
i
+
1
{\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}}
з початковим значенням
B
0
=
1
{\displaystyle B_{0}=1}
.
Часткові поліноми Белла також можна ефективно обчислені рекурентним співвідношенням:
B
n
,
k
=
∑
i
=
1
n
−
k
+
1
(
n
−
1
i
−
1
)
x
i
B
n
−
i
,
k
−
1
,
{\displaystyle B_{n,k}=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n-1}{i-1}}x_{i}B_{n-i,k-1},}
де
B
0
,
0
=
1
;
{\displaystyle B_{0,0}=1;}
B
n
,
0
=
0
for
n
≥
1
;
{\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;}
B
0
,
k
=
0
for
k
≥
1.
{\displaystyle B_{0,k}=0{\text{ for }}k\geq 1.}
Повні поліноми Белла також задовольняють такій диференціальній рекурентній формулі:
B
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
1
n
−
1
[
∑
i
=
2
n
∑
j
=
1
i
−
1
(
i
−
1
)
(
i
−
2
j
−
1
)
x
j
x
i
−
j
∂
B
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
∂
x
i
−
1
+
∑
i
=
2
n
∑
j
=
1
i
−
1
x
i
+
1
(
i
j
)
∂
2
B
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
∂
x
j
∂
x
i
−
j
+
∑
i
=
2
n
x
i
∂
B
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
∂
x
i
−
1
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}
Повні поліноми Белла можна виразити у вигляді визначника :
B
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
det
[
x
1
(
n
−
1
1
)
x
2
(
n
−
1
2
)
x
3
(
n
−
1
3
)
x
4
(
n
−
1
4
)
x
5
⋯
⋯
x
n
−
1
x
1
(
n
−
2
1
)
x
2
(
n
−
2
2
)
x
3
(
n
−
2
3
)
x
4
⋯
⋯
x
n
−
1
0
−
1
x
1
(
n
−
3
1
)
x
2
(
n
−
3
2
)
x
3
⋯
⋯
x
n
−
2
0
0
−
1
x
1
(
n
−
4
1
)
x
2
⋯
⋯
x
n
−
3
0
0
0
−
1
x
1
⋯
⋯
x
n
−
4
0
0
0
0
−
1
⋯
⋯
x
n
−
5
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋱
⋮
0
0
0
0
0
⋯
−
1
x
1
]
.
{\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.}
Числа Стірлінга та Белла
ред.
Значення поліномів Белла B n ,k (x 1 , x 2 , ...) для набору факторіалів дорівнює числу Стірлінга першого роду (без знаку):
B
n
,
k
(
0
!
,
1
!
,
…
,
(
n
−
k
)
!
)
=
c
(
n
,
k
)
=
|
s
(
n
,
k
)
|
=
[
n
k
]
.
{\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].}
Поліноми Белла B n , k (x 1 , x 2 , ...) від набору одиниць дорівнює числам Стірлінга другого роду :
B
n
,
k
(
1
,
1
,
…
,
1
)
=
S
(
n
,
k
)
=
{
n
k
}
.
{\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}
Сума цих значень дає значення повного полінома Белла від набору одиниць:
B
n
(
1
,
1
,
…
,
1
)
=
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
1
,
1
,
…
,
1
)
=
∑
k
=
1
n
{
n
k
}
,
{\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},}
що є n- м числом Белла .
Зворотні співвідношення
ред.
Якщо ми визначимо
x
n
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
B
n
,
k
(
y
1
,
…
,
y
n
−
k
+
1
)
.
{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}
то ми маємо таке зворотне співвідношення
(
x
♢
y
)
n
=
∑
j
=
1
n
−
1
(
n
j
)
x
j
y
n
−
j
.
{\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}
Поліноми Тушара
T
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
{
n
k
}
⋅
x
k
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}}
може бути виражена як значення повного многочлена Белла від аргументів, що всі дорівнюють х :
T
n
(
x
)
=
B
n
(
x
,
x
,
…
,
x
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}
Для послідовностей x n , y n , n = 1, 2, ..., визначте згортку по:
(
x
♢
y
)
n
=
∑
j
=
1
n
−
1
(
n
j
)
x
j
y
n
−
j
.
{\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}
Межі підсумовування — 1 і n — 1, а не 0 і n .
Дозволяти
x
n
k
♢
{\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}
— n- й член послідовності
x
♢
⋯
♢
x
⏟
k
factors
.
{\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,}
Тоді [3]
B
n
,
k
(
x
1
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
=
x
n
k
♢
k
!
.
{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}
Наприклад, давайте обчислити
B
4
,
3
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}
. Ми маємо
x
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
…
)
{\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}
x
♢
x
=
(
0
,
2
x
1
2
,
6
x
1
x
2
8
x
1
x
3
+
6
x
2
2
…
)
{\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\,\dots )}
x
♢
x
♢
x
=
(
0
,
0
,
6
x
1
3
36
x
1
2
x
2
…
)
{\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\,\dots )}
і, таким чином,
B
4
,
3
(
x
1
,
x
2
)
=
(
x
♢
x
♢
x
)
4
3
!
=
6
x
1
2
x
2
.
{\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}
B
n
,
k
(
1
!
,
2
!
,
…
,
(
n
−
k
+
1
)
!
)
=
(
n
−
1
k
−
1
)
n
!
k
!
=
L
(
n
,
k
)
{\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)}
що надає число Лаха.
B
n
,
k
(
1
,
2
,
3
,
…
,
n
−
k
+
1
)
=
(
n
k
)
k
n
−
k
{\displaystyle B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{n-k}}
що повертає ідемпотентне число .
Повний многочлен Белла задовольняє відношення типу двочлена:
B
n
(
x
1
+
y
1
,
…
,
x
n
+
y
n
)
=
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
B
n
−
i
(
x
1
,
…
,
x
n
−
i
)
B
i
(
y
1
,
…
,
y
i
)
.
{\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}).}
B
n
,
k
(
x
q
+
1
(
q
+
1
q
)
,
x
q
+
2
(
q
+
2
q
)
,
…
)
=
n
!
(
q
!
)
k
(
n
+
q
k
)
!
B
n
+
q
k
,
k
(
…
,
0
,
0
,
x
q
+
1
,
x
q
+
2
,
…
)
{\displaystyle B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots )}
Це виправляє опущення фактора
(
q
!
)
k
{\displaystyle (q!)^{k}}
у книзі Конта.
Коли
1
≤
a
<
n
{\displaystyle 1\leq a<n}
,
B
n
,
n
−
a
(
x
1
,
…
,
x
a
+
1
)
=
∑
j
=
a
+
1
2
a
j
!
a
!
(
n
j
)
(
x
1
)
n
−
j
B
a
,
j
−
a
(
x
2
2
,
x
3
3
,
…
,
x
2
(
a
+
1
)
−
j
2
(
a
+
1
)
−
j
)
.
{\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}(x_{1})^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}
Особливі випадки часткових многочленів Белла:
B
n
,
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
x
n
B
n
,
2
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
=
1
2
∑
k
=
1
n
−
1
(
n
k
)
x
k
x
n
−
k
B
n
,
n
(
x
1
)
=
(
x
1
)
n
B
n
,
n
−
1
(
x
1
,
x
2
)
=
(
n
2
)
(
x
1
)
n
−
2
x
2
B
n
,
n
−
2
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
(
n
3
)
(
x
1
)
n
−
3
x
3
+
3
(
n
4
)
(
x
1
)
n
−
4
(
x
2
)
2
B
n
,
n
−
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
=
(
n
4
)
(
x
1
)
n
−
4
x
4
+
10
(
n
5
)
(
x
1
)
n
−
5
x
2
x
3
+
15
(
n
6
)
(
x
1
)
n
−
6
(
x
2
)
3
B
n
,
n
−
4
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
=
(
n
5
)
(
x
1
)
n
−
5
x
5
+
5
(
n
6
)
(
x
1
)
n
−
6
[
3
x
2
x
4
+
2
(
x
3
)
2
]
+
105
(
n
7
)
(
x
1
)
n
−
7
(
x
2
)
2
x
3
+
105
(
n
8
)
(
x
1
)
n
−
8
(
x
2
)
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&x_{n}\\[8pt]B_{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x_{k}x_{n-k}\\[8pt]B_{n,n}(x_{1})={}&(x_{1})^{n}\\[8pt]B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{2}}(x_{1})^{n-2}x_{2}\\[8pt]B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&{\binom {n}{3}}(x_{1})^{n-3}x_{3}+3{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}(x_{2})^{2}\\[8pt]B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}(x_{2})^{3}\\[8pt]B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}{\bigl [}3x_{2}x_{4}+2(x_{3})^{2}{\bigr ]}+105{\binom {n}{7}}(x_{1})^{n-7}(x_{2})^{2}x_{3}\\{}&{}+105{\binom {n}{8}}(x_{1})^{n-8}(x_{2})^{4}.\end{aligned}}}
Перші декілька повних многочленів Белла:
B
0
=
1
,
B
1
(
x
1
)
=
x
1
,
B
2
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
2
+
x
2
,
B
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
x
1
3
+
3
x
1
x
2
+
x
3
,
B
4
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
=
x
1
4
+
6
x
1
2
x
2
+
4
x
1
x
3
+
3
x
2
2
+
x
4
,
B
5
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
=
x
1
5
+
10
x
2
x
1
3
+
15
x
2
2
x
1
+
10
x
3
x
1
2
+
10
x
3
x
2
+
5
x
4
x
1
+
x
5
B
6
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
x
6
)
=
x
1
6
+
15
x
2
x
1
4
+
20
x
3
x
1
3
+
45
x
2
2
x
1
2
+
15
x
2
3
+
60
x
3
x
2
x
1
+
15
x
4
x
1
2
+
10
x
3
2
+
15
x
4
x
2
+
6
x
5
x
1
+
x
6
,
B
7
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
x
6
,
x
7
)
=
x
1
7
+
21
x
1
5
x
2
+
35
x
1
4
x
3
+
105
x
1
3
x
2
2
+
35
x
1
3
x
4
+
210
x
1
2
x
2
x
3
+
105
x
1
x
2
3
+
21
x
1
2
x
5
+
105
x
1
x
2
x
4
+
70
x
1
x
3
2
+
105
x
2
2
x
3
+
7
x
1
x
6
+
21
x
2
x
5
+
35
x
3
x
4
+
x
7
.
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&{}+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}
Формула Фаа ді Бруно може бути викладена з точки зору поліномів Белла наступним чином:
d
n
d
x
n
f
(
g
(
x
)
)
=
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
(
g
(
x
)
)
B
n
,
k
(
g
′
(
x
)
,
g
″
(
x
)
,
…
,
g
(
n
−
k
+
1
)
(
x
)
)
.
{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}
Аналогічно, версію формули Фаа ді Бруно можна подати з використанням многочленів Белла наступним чином. Припустимо
f
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
n
!
x
n
and
g
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
b
n
n
!
x
n
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{and}}\qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}.}
Тоді
g
(
f
(
x
)
)
=
∑
n
=
1
∞
∑
k
=
1
n
b
k
B
n
,
k
(
a
1
,
…
,
a
n
−
k
+
1
)
n
!
x
n
.
{\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}.}
Зокрема, повні поліноми Белла фігурують у розкладі експоненти формальний степеневий ряд :
exp
(
∑
i
=
1
∞
a
i
i
!
x
i
)
=
∑
n
=
0
∞
B
n
(
a
1
,
…
,
a
n
)
n
!
x
n
,
{\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}
що також представляє генератису для експоненти повних многочленів Белла на фіксованій послідовності аргументів
a
1
,
a
2
,
…
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }
.
Нехай дві функції f і g виражаються у формальних рядах потужностей як
f
(
w
)
=
∑
k
=
0
∞
f
k
w
k
k
!
,
and
g
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
g
k
z
k
k
!
,
{\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}
такий, що g — композиційна інверсія f, визначена g (f (w )) = w або f (g (z )) = z . Якщо f 0 = 0 і f 1 ≠ 0, то явна форма коефіцієнтів оберненої може бути задана в терміні многочленів Белла як
Z
(
S
n
)
=
B
n
(
0
!
a
1
,
1
!
a
2
,
…
,
(
n
−
1
)
!
a
n
)
n
!
.
{\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}
з
f
^
k
=
f
k
+
1
(
k
+
1
)
f
1
,
{\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}
і
n
k
¯
=
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
k
−
1
)
{\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}
— це фактор, що зростає, і
g
1
=
1
f
1
.
{\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.}
Симетричні многочлени
ред.
Елементарний симетричний многочлен
e
n
{\displaystyle e_{n}}
і степеневий многочлен суми потужності
p
n
{\displaystyle p_{n}}
можуть бути пов'язані один з одним за допомогою поліномів Белла як:
e
n
=
(
−
1
)
n
n
!
B
n
(
p
1
,
−
1
!
p
2
,
2
!
p
3
,
−
3
!
p
4
,
…
,
(
−
1
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
p
n
)
,
p
n
=
(
−
1
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
B
n
,
k
(
e
1
,
2
!
e
2
,
3
!
e
3
,
…
,
(
n
−
k
+
1
)
!
e
n
−
k
+
1
)
=
(
−
1
)
n
n
∑
k
=
1
n
1
k
B
^
n
,
k
(
−
e
1
,
…
,
−
e
n
−
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n}),\\[6pt]p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}}
Ці формули дозволяють виразити коефіцієнти монічних поліноми через поліноми Белла з нульовими аргументами. Наприклад, разом із теоремою Кейлі — Гамільтона вони призводять до вираження детермінантної n × n квадратної матриці A через сліди її потужностей:
det
(
A
)
=
(
−
1
)
n
n
!
B
n
(
s
1
,
s
2
,
…
,
s
n
)
,
where
s
k
=
(
−
1
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
tr
(
A
k
)
.
{\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),~\qquad {\text{where }}s_{k}=(-1)^{k-1}(k-1)!\operatorname {tr} (A^{k}).}
Індекс циклу симетричних груп
ред.
Індекс циклу симетричної групи
S
n
{\displaystyle S_{n}}
можна виразити через повні многочлени Белла так:
Z
(
S
n
)
=
B
n
(
0
!
a
1
,
1
!
a
2
,
…
,
(
n
−
1
)
!
a
n
)
n
!
.
{\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}
Поліноми Ерміта імовірністів можна виразити через поліноми Белла як
He
n
(
x
)
=
B
n
(
x
,
−
1
,
0
,
…
,
0
)
,
{\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}
де x i = 0 для всіх i > 2; що передбачає комбінаторну інтерпретацію коефіцієнтів поліномів Ерміта. Це можна побачити, порівнюючи генератрису поліномів Ерміта
exp
(
x
t
−
t
2
2
)
=
∑
n
=
0
∞
He
n
(
x
)
t
n
n
!
{\displaystyle \exp \left(xt-{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}
з поліномами Белла.
Програмне забезпечення
ред.
Поліноми Белла реалізовані в: