Кільце Джекобсона

У абстрактній алгебрі довільне кільце називається кільцем Джекобсона (іноді також кільцем Гільберта) якщо кожен його простий ідеал є рівним перетину примітивних ідеалів (тобто ідеалів, що є ануляторами простих модулів).

Для комутативних кілець примітивні ідеали це те ж саме, що і максимальні і тому комутативне кільце з одиницею називається кільцем Джекобсона, якщо будь-який простий ідеал цього кільця є перетином максимальних ідеалів, що його містять.

Інакше кажучи будь-яке цілісне фактор-кільце має нульовий радикал Джекобсона.

Приклади

• Оскільки єдиним простим ідеалом поля є нульовий ідеал, довільне поле є кільцем Джекобсона.
• Будь-яке кільце Артіна є кільцем Джекобсона.
• Кільце цілих чисел і, більш загально, будь-яке кільце головних ідеалів і кільце Дедекінда з нульовим радикалом Джекобсона.
• Абсолютно плоске кільце (тобто кільце над яким усі модулі є плоскими) є кільцем Джекобсона.
• Алгебра над незліченним полем із зліченною породжуючою множиною є кільцем Джекобсона.
• Локальне кільце, що не є артіновим, не є кільцем Джекобсона.

Властивості

• Якщо $A$ є кільцем Джекобсона, а $B$ — $A$-алгебра, що є областю цілісності або $A$-алгеброю скінченного типу, то $B$ є кільцем Джекобсона.
• Зокрема, фактор-кільце кільця Джекобсона є кільцем Джекобсона.
• Комутативне кільце є кільцем Джекобсона тоді і тільки тоді коли кожен його G-ідеал є максимальним ідеалом.
• Комутативне кільце $A$ є кільцем Джекобсона тоді і тільки тоді коли кільце многочленів від скінченної кількості змінних над $A$ є кільцем Джекобсона. Разом із попередньою властивістю це означає, що довільна скінченнопороджена алгебра над кільцем Джекобсона є кільцем Джекобсона. Оскільки поле є кільцем Джекобсона, то частковим випадком цього твердження є теорема Гільберта про нулі.
• У випадку нескінченної кількості змінних, факт того чи є кільце многочленів над полем кільцем Джекобсона залежить від співвідношення числа змінних і потужності поля.
• Комутативне кільце $A$ є кільцем Джекобсона тоді і тільки тоді коли для нього виконується аналог леми Зариського: довільна скінченнопороджена $A$-алгебра, що є полем є скінченнопородженим $A$-модулем.

Див. також

• Теорема Гільберта про нулі
• G-область

Література

• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (вид. Revised), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945
• Krull, Wolfgang (1951), Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie, Mathematische Zeitschrift, 54: 354—387, doi:10.1007/BF01238035, ISSN 0025-5874, MR 0047622
• Krull, Wolfgang (1952), Jacobsonsches Radikal und Hilbertscher Nullstellensatz, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, Mass., 1950, т. 2, Providence, R.I.: American Mathematical Society, с. 56—64, MR 0045097, архів оригіналу за 29 листопада 2014, процитовано 18 грудня 2017