Лема Зариського
Лема Зариського — важлива лема в комутативній алгебрі, яка зокрема використовується при доведенні теореми Гільберта про нулі. Названа на честь Оскара Зарицького.
Лема стверджує, що якщо поле L є розширенням поля K і водночас L є скінченно породженою алгеброю над полем K то звідси випливає, що L є скінченним розширенням поля K.
Доведення ред.
Припустимо спершу, що для деякого Тоді кільце є ізоморфним кільцю де — кільце многочленів над K і оскільки є кільцем головних ідеалів. Також є простим ідеалом.
![{\displaystyle K[v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6d9e97de5ffd8805f30f6e0fd520ce857cff4f)
![{\displaystyle K[X]/(F),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe6453d772adde031de6023e5f4030299cdba5f)
![{\displaystyle K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb4d802ca5718a14dc961af8692f35cdfad169b)
![{\displaystyle F\in K[X],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b958be414c859157ea49e4ed3ec4a795510529)
не може бути рівним нулю. Дійсно в цьому випадку і це суперечить тому, що L є скінченно породженою алгеброю над K. Справді не є скінченно породженою алгеброю над K оскільки якщо вибрати спільний знаменник b породжуючих елементів, то будь-який елемент знаменник якого не ділить жодного степеня b не може бути записаний через ці породжуючі елементи.
Отже, є ненульовим простим ідеалом. є незвідним многочленом, старший коефіцієнт якого можна вважати рівним 1. Ідеал є максимальним ідеалом і тому є полем, тобто Також тобто v є алгебраїчним елементом і є скінченним розширенням поля K.
![{\displaystyle K[v]=K[X]/(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8288eaf04441179557f3216dd28345a9477c86)
![{\displaystyle K[v]=K(v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4a5e0d91801eb02c31fadd8816fed065356cf5)
Припустимо тепер, що твердження теореми справедливе для випадку коли L є скінченно породженою алгеброю з n — 1 породжуючим елементом і доведемо, що твердження справедливе і для Позначимо Тоді з припущення індукції є скінченним розширенням поля Якщо також є алгебраїчним розширенням, то воно є скінченним і тоді теж є скінченним, оскільки у послідовності полів K ⊆ L ⊆ F, поле F є скінченним розширенням над K тоді і тільки тоді, коли F є скінченним розширенням над L та L є скінченним розширенням над K.
![{\displaystyle L=K[v_{1},\ldots ,v_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27136e3a92d04791381d6466f83b5550bd69a688)
![{\displaystyle L=K_{1}[v_{2},\ldots ,v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c086437202f6afa31aee6cdc407521099d3fb8f4)
![{\displaystyle L=K[v_{1},\ldots ,v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d356d7905f73e7038a06d5232bccbc40c7679594)
Тому припустимо, що не є алгебраїчним розширенням і тоді воно ізоморфно полю Кожен елемент є алгебраїчним над тобто виконується рівність:
Позначивши як a добуток знаменників всіх в рівностях вище маємо також:
Оскільки з попереднього то всі елементи є алгебраїчними цілими над Оскільки алгебраїчні цілі утворюють кільце, то для кожного існує таке що є алгебраїчним цілим над
![{\displaystyle aa_{ij}\in K[v_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91c5b5118dc8bd7a2066aa0bfb72f9ec0d00774)
![{\displaystyle K[v_{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8279179228cc0725b6860654eb85deb2a88a332d)
![{\displaystyle z\in K[v_{1},\ldots ,v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5341b7e41358894ba6ac00d8865532f8030549)
Зокрема, оскільки то це твердження є справедливим і для Проте за припущенням є ізоморфним полю і є ізоморфним кільцю Елемент поля є алгебраїчним цілим над тоді і тільки тоді коли він належить Дійсно якщо де — взаємно прості многочлени, то з випливає тому G ділить F і відповідно G = 1. Зокрема, якщо знаменник не ділить , то не може бути алгебраїчним цілим для довільного
![{\displaystyle K(v_{1})\subset K[v_{1},\ldots ,v_{n}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320ed72a2151260b1f821430fab366c91bb2aae6)
![{\displaystyle K[v_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98b1e83b5aeb4b76338c3ad7cf2936042c568f2)
![{\displaystyle K[X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580eb7ae96628ee0bac3b6d588345aabbfb7a25d)
![{\displaystyle F,G\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1e1ce5cb4d88f574a26e6c848b4df6357b93e7)
Тому з усіх цих властивостей маємо, що не може бути ізоморфним і відповідно є алгебраїчним розширенням, що завершує доведення.
Див. також ред.
Джерела ред.
- William Fulton. Algebraic Curves: An Introduction To Algebraic Geometry New York: Benjamin, 1969. Reprint ed.: Redwood City, CA, USA: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN 0-201-51010-3. Електронна версія [Архівовано 7 жовтня 2009 у Wayback Machine.].(англ.)