Лема Зариського — важлива лема в комутативній алгебрі, яка зокрема використовується при доведенні теореми Гільберта про нулі. Названа на честь Оскара Зарицького.

Лема стверджує, що якщо поле L є розширенням поля K і водночас L є скінченно породженою алгеброю над полем K то звідси випливає, що L є скінченним розширенням поля K.

ДоведенняРедагувати

Припустимо спершу, що   для деякого   Тоді кільце   є ізоморфним кільцю   де   — кільце многочленів над K і  оскільки   є кільцем головних ідеалів. Також   є простим ідеалом.

  не може бути рівним нулю. Дійсно в цьому випадку   і це суперечить тому, що L є скінченно породженою алгеброю над K. Справді   не є скінченно породженою алгеброю над K оскільки якщо вибрати спільний знаменник b породжуючих елементів, то будь-який елемент   знаменник якого не ділить жодного степеня b не може бути записаний через ці породжуючі елементи.

Отже,   є ненульовим простим ідеалом.   є незвідним многочленом, старший коефіцієнт якого можна вважати рівним 1. Ідеал   є максимальним ідеалом і тому   є полем, тобто   Також   тобто v є алгебраїчним елементом і   є скінченним розширенням поля K.

Припустимо тепер, що твердження теореми справедливе для випадку коли L є скінченно породженою алгеброю з n — 1 породжуючим елементом і доведемо, що твердження справедливе і для   Позначимо   Тоді з припущення індукції   є скінченним розширенням поля   Якщо також   є алгебраїчним розширенням, то воно є скінченним і   тоді теж є скінченним, оскільки у послідовності полів KLF, поле F є скінченним розширенням над K тоді і тільки тоді, коли F є скінченним розширенням над L та L є скінченним розширенням над K.

Тому припустимо, що   не є алгебраїчним розширенням і тоді воно ізоморфно полю   Кожен елемент   є алгебраїчним над   тобто виконується рівність:

 

Позначивши як a добуток знаменників всіх   в рівностях вище маємо також:

 

Оскільки з попереднього   то всі елементи   є алгебраїчними цілими над   Оскільки алгебраїчні цілі утворюють кільце, то для кожного   існує   таке що   є алгебраїчним цілим над  

Зокрема, оскільки   то це твердження є справедливим і для   Проте за припущенням   є ізоморфним полю   і   є ізоморфним кільцю   Елемент поля   є алгебраїчним цілим над   тоді і тільки тоді коли він належить   Дійсно якщо   де   — взаємно прості многочлени, то з   випливає   тому G ділить F і відповідно G = 1. Зокрема, якщо знаменник   не ділить  , то   не може бути алгебраїчним цілим для довільного  

Тому з усіх цих властивостей маємо, що   не може бути ізоморфним   і відповідно   є алгебраїчним розширенням, що завершує доведення.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати