Теорема Гільберта про нулі

Теоре́ма Гі́льберта про нулі (також використовується німецька назва Nullstellensatz, що перекладається як «теорема про нулі») — теорема, що встановлює фундаментальний зв'язок між геометричними і алгебричними аспектами алгебричної геометрії. Вона пов'язує поняття алгебричної множини з поняттям ідеалу в кільцях многочленів над алгебрично замкнутими полями. Вперше доведена Давидом Гільбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313–373) і названа на його честь.

ФормулюванняРедагувати

Нехай   — алгебрично замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай   — кільце многочленів від змінних   з коефіцієнтами з поля   і нехай   — ідеал в тому кільці.

Афінний многовид  , що визначається цим ідеалом, складається з усіх точок   таких, що   для будь-якого  . Теорема Гільберта про нулі стверджує, що якщо деякий многочлен   приймає значення нуль на многовиді  , тобто якщо   для всіх  , то існує натуральне число   таке, що многочлен   міститься в  .

Наслідком є наступна «слабка теорема Гільберта про нулі»: якщо   є власним ідеалом в кільці  , то   не може бути порожньою множиною, тобто існує загальний нуль для всіх многочленів даного ідеалу (цей факт випливає з того, що інакше многочлен   має корені всюди на   через пустоту цієї множини і тому   тобто ідеал не є власним). Ця обставина і дала ім'я теоремі.

Загальний випадок може бути легко виведений з «слабкої теореми» за допомогою так званого прийому Рабіновича. Припущення про те, що поле   є алгебрично замкнутим, істотно: елементи власного ідеалу   у   не мають загального нуля.

Використовуючи стандартну термінологію комутативної алгебри теорему Гільберта про нулі можна сформулювати так: для кожного ідеалу   справедлива формула   де   є радикалом ідеалу  , а   є ідеалом, породженим всіма многочленами, які зануляются на множині  .

ДоведенняРедагувати

Доведемо тут слабку версію теореми про нулі. Загальну версію, відповідно, можна отримати за допомогою леми Рабіновича.

Також, очевидно, якщо  , то   тому твердження теореми достатньо довести для максимальних ідеалів. В цьому випадку   є полем для якого   є підполем.

У випадку якщо   то для всіх   існує таке   для якого   Але   є максимальним ідеалом і тому   Звідси  

Відповідно достатньо довести, що якщо   є скінченно породженим розширенням алгебраїчно замкнутого поля   і існує гомоморфізм кілець з   на   (тобто гомоморфізм є сюр'єктивним), що є ідентичним відображенням на  , то  

Але очевидно в цьому випадку   є скінченно породженою алгеброю над   і відповідно згідно леми Зариського розширення є скінченним і як наслідок кожен елемент   є алгебраїчним над   Зважаючи, що   є алгебраїчно замкнутим полем, то  

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати