Кільце Гензеля

Кільцем Гензеля називається комутативне локальне кільце для якого виконується лема Гензеля. Цей клас кілець ввів японський математик Горо Азумайа^[1], який назвав їх на честь Курта Гензеля.

Для кожного локального кільця можна отримати гензелеве кільце за допомогою процедури гензелізації. У комутативній алгебрі гензелізація часто замінює операцію поповнення, що відіграє важливу роль при локальному дослідженні об'єктів. В теорії етальних морфізмів і етальної топології гензелева R-алгебра розглядається як індуктивна границя етальних розширень кільця.

Означення

Кільцем Гензеля називається комутативне локальне кільце R, для якого виконується лема Гензеля. Для локального кільця із максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$ цю умову можна сформулювати так, що для будь-якого многочлена $P(X)\in R[X]$ і простого розв'язку $a_{0}\in R$ рівняння P(X) = 0 по модулю ${\mathfrak {m}}$ , тобто $P(a_{0})\in {\mathfrak {m}}$ і $P(a_{0})\not \in {\mathfrak {m}}$ існує $a\in R$ , для якого $P(a)=0$ і $a\equiv a_{0}\mod {\mathfrak {m}}.$ .

Кільце Гензеля можна характеризувати як кільце, над яким будь-яка скінченна алгебра є прямим добутком локальних кілець.

Кільце Гензеля із сепарабельним замкнутим полем лишків називається строго гензелевим через локальність його спектра в етальній топології схем.

Приклади

Повні локальні кільця.
Кільця збіжних степеневих рядів (і в більш загальному сенсі, аналітичні кільця),
Кільце алгебричних степеневих рядів (тобто формальні степеневі ряди $k[[X_{1},...,X_{n}]],$ що є алгебричними над $k[X_{1},...,X_{n}]$ ).

Властивості

Локальне кільце, ціле над кільцем Гензеля, є кільцем Гензеля; зокрема, фактор-кільце кільця Гензеля є кільцем Гензеля.
Кільце R є гензелевим тоді і тільки тоді, коли асоційоване редуковане кільце R_red (фактор-кільце за нільрадикалом) є кільцем Гензеля.

Гензелізація

Для будь-якого локального кільця R існує універсальна конструкція — локальна гензелева R-алгебра R^h, така що для будь-якої локальної гензелевої R-алгебри B існує єдиний гомоморфізм R-алгебр $R^{h}\to B.$

R^h називається гензелізацією кільця R. Гензелізація задовольняє властивості:

Алгебра R^h локального кільця R є строго плоским R-модулем.
Ідеал ${\mathfrak {m}}R^{h}$ буде максимальним ідеалом алгебри $R^{h}$ ,
Поля лишків R і R^h є канонічно ізоморфними,
Поповнення кілець R і R^h (в топологіях локальних кілець) є ізоморфними.
Якщо R є нетерівським (відповідно редукованим, нормальним, регулярним, чудовим) кільцем, то таким же буде і R^h.
Якщо R — область цілісності, то R^h може не бути областю цілісності; більш точно, є бієктивна відповідність між максимальними ідеалами цілого замикання кільця R і мінімальними простими ідеалами у R^h.

Аналогічно конструкції побудови гензелевої R-алгебри R^h існує функтор строгої гензелевої R-алгебри R^sh.

Примітки

↑ Azumaya, Gorô (1951), On maximally central algebras., Nagoya Mathematical Journal, 2: 119—150, doi:10.1017/s0027763000010114, ISSN 0027-7630, MR 0040287, архів оригіналу за 12 квітня 2019, процитовано 12 квітня 2019

Див. також

Література

Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, т. 13 (вид. reprint), New York-London: Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons, с. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856
Raynaud, Michel (1970), Anneaux locaux henséliens, Lecture Notes in Mathematics, т. 169, Berlin-New York: Springer-Verlag, с. v+129, doi:10.1007/BFb0069571, ISBN 978-3-540-05283-8, MR 0277519

[1] Azumaya, Gorô (1951), On maximally central algebras., Nagoya Mathematical Journal, 2: 119—150, doi:10.1017/s0027763000010114, ISSN 0027-7630, MR 0040287, архів оригіналу за 12 квітня 2019, процитовано 12 квітня 2019

[1]