Нехай  — це многочлен з цілими (або p-адичними цілими) коефіцієнтами, нехай m, k це додатні цілі такі, що mk. Якщо r є цілим таким, що

і

тоді існує ціле s таке, що

і

І також, таке s єдине за модулем pk+m і його можна обчислити як таке ціле

де це ціле, що задовольняє

Зауважимо, що так, що дотримується умова Додатково зазначимо, що якщо , тоді можливо мати 0, 1 чи декілька s.

ВиведенняРедагувати

Виведення леми розглядає розклад у ряд Тейлора функції в околі З ми бачимо, що s повинно мати таку форму для деякого цілого

Нехай , де , отже

для деякого многочлена з цілими коефіцієнтами.

Ділячи обидві частини за модулем , ми бачимо, що для того, щоб виконувалось , нам треба

Тоді ми зауважимо, що для деякого цілого оскільки є коренем . Таким чином,

,

тобто

Розв'язуючи для у отримуємо згадану вище формулу для Припущення, що не ділиться на p гарантує, що має унікальне обернене за модулем Отже, розв'язок для t існує і єдиний за модулем і існує і єдине за модулем .

НаслідкиРедагувати

  • Якщо   і   є розв'язком   тоді   підіймається до   для всіх цілих   Отже,   підіймається до   відмінних розв'язків  
  • Якщо   але   не є розв'язком   тоді   не підіймається до якогось розв'язку   Отже, якщо   має розв'язки, то жоден з них не лежить над  [1]

ПрикладРедагувати

Розв'язати конгруентність   Тобто   За модулем 5:   тому покладемо     отже  

 

ПриміткиРедагувати

  1. Nathan Jolly. Constructing the Primitive Roots of Prime Powers. Архів оригіналу за 20 грудня 2016. Процитовано 4 грудня 2016. 

ПосиланняРедагувати