Зоногон
Зоногон — центрально-симетричний опуклий багатокутник.
Еквівалентні визначення ред.
- Зоногон — опуклий багатокутник з парною кількістю сторін, які можна розбити на пари рівних і паралельних. Насправді, достатньо вимагати істинність обох умов для всіх пар сторін, крім однієї — для неї умова вже буде наслідком, що неважко довести за індукцією за кількістю сторін багатокутника. Однак пара сторін, паралельність і рівність яких не постулюється, обов'язково повинна бути однією і тією ж для обох умов, інакше багатокутник вже не обов'язково буде зоногоном: приклад багатокутника, який не є зоногоном, у якому протилежні сторони лише однієї пари не паралельні і протилежні сторони лише однієї пари не рівні, зображений на рисунку.
- Зоногон — опуклий багатокутник з парною кількістю сторін, у якого всі протилежні сторони і кути рівні.
- Зоногон — сума Мінковського скінченного числа відрізків на площині. Кількість сторін отриманого зоногона дорівнює подвоєній кількості відрізків.
- Зоногон — межа проєкції на площину гіперкуба певної розмірності. Це визначення можна отримати з попереднього, користуючись тим фактом, що гіперкуб є сумою Мінковського своїх ребер, які виходять з однієї вершини, і тим, що проєкція суми Мінковського відрізків (як і будь-яких інших множин) є сумою Мінковського їхніх проєкцій. За розмірності гіперкуба отриманий зоногон має рівно сторін у загальному випадку і не більше сторін у будь-якому випадку. Важливо, що гіперкуб розмірності не обов'язково повинен проєктуватися з -вимірного простору на площину, що міститься в цьому просторі: наприклад, проєктуючи куб з ребром з тривимірного простору на площину, що міститься в ньому, можна отримати фігуру з діаметром менше , оскільки такий діаметр вписаної сфери куба, чия проєкція є колом діаметра і міститься всередині проєкції самого куба за будь-якого його положення, а ось ортогональна проєкція куба такого самого розміру з вершинами з п'ятивимірного простору на площину, утворену усіма точками вигляду , складається взагалі з однієї точки — . Це уточнення впливає не тільки на розмір одержуваних зоногонів — деякі зоногони з точністю до подібності можна отримати тільки проєктуванням гіперкуба на площину з простору більшої розмірності, ніж розмірність самого гіперкуба.
Часткові випадки ред.
- Паралелограм — чотирикутник, що є зоногоном. Зокрема, зоногони — це ромб, прямокутник та квадрат.
- Правильний багатокутник з парною кількістю сторін є зоногоном.
Властивості ред.
- Узагальнення теореми Монскі: ніякий зоногон не можна розрізати на непарну кількість рівних за площею трикутників. Цей факт довів той самий Пауль Монскі після основної теореми[1][2].
- Максимальна кількість пар вершин, які можуть міститись на однакових відстанях, у зоногоні з сторонами дорівнює . Існують зоногони з кількістю таких пар, рівною (див. «O» велике і «o» мале)[3].
- Будь-який строго опуклий зоногон з сторонами можна розбити на паралелограмів, причому серед них завжди на кожну пару можливих напрямків сторін зоногона припадатиме рівно один паралелограм з такими самими напрямками сторін[4]. Кількості таких можливих розбиттів для зоногонів з будь-якими кількостями сторін дає послідовність A006245 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
- Для будь-якого довільного розбиття зоногона на паралелограми (в будь-якій можливій їх кількості) знайдеться принаймні три вершини зоногона, кожна з яких належить лише одному з паралелограмів[5].
Способи зменшення кількості сторін ред.
Зазначені способи можна застосувати в індукції за кількістю сторін зоногона для доведення наведених вище еквівалентних визначень і властивостей.
- Відсікання вершин — за допомогою нього, наприклад, легко доводиться еквівалентність головного визначення другому визначенню з розділу з еквівалентними визначеннями.
- Відсікання смуг паралелограмів — крім іншого, його можна використати для доведення властивостей вище, пов'язаних з розбиттям зоногонів на паралелограми повністю.
Замощення площини зоногонами ред.
Усі зоногони з кількістю вершин, більшою від чотирьох, у замощеннях нижче можна розбити на зоногони з меншою кількістю вершин за допомогою розсікання шарів паралелограмів, показаного на одному з малюнків вище. Також ці паралелограми можна видалити із замощення, що буде рівносильно «складанню» зоногонів у певному напрямку.
Замощення одним типом зоногонів ред.
Чотирикутник і шестикутники, які є зоногонами, є також паралелогонами і допускають замощення площини власними копіями, отриманими тільки за допомогою паралельного перенесення.
Замощення площини одним типом зоногонів | |
---|---|
Замощення чотирикутними зоногонами | Замощення шестикутними зоногонами |
Замощення двома типами зоногонів ред.
Такі замощення є свого роду зрізаними замощеннями площини паралелограмами (чотирикутними зоногонами) по ребрах і по вершинах відповідно.
Замощення площин двома типами зоногонів | |
---|---|
Замощення чотирикутними і шестикутними зоногонами |
Замощення чотирикутними і восьмикутними зоногонами |
Деякі інші замощення ред.
Деякі способи «розсування» замощень ред.
Замощення можна «розсунути» вздовж періодичних розрізів між багатокутниками, а отримані щілини можна заповнити смугами, наведеними нижче.
Способи зі сторонами, зустрічаються з різною частотою | ||
---|---|---|
Період 4 | На межі цієї смуги один тип сторін зустрічається в два рази частіше, ніж будь-який з інших двох. |
Узагальнення ред.
- Зоноедр (зонотоп) — багатогранник, який є узагальненням зоногона для тривимірного простору та просторів більшої розмірності. Іноді під зоноедром мають на увазі тільки тривимірний багатогранник, а під зонотопом — багатогранник довільної розмірності.
- Можна розглядати центрально-симетричний багатокутник, що не є опуклим і навіть несамоперетинним. При цьому для нього будуть істинними тільки два перших визначення з розділу Еквівалентні визначення відповідно до прибраних вимог опуклості. У певному сенсі такі багатокутники з невеликою кількістю сторін все ще будуть допускати замощення площини.
Примітки ред.
- ↑ Монски, Пауль (1990), A conjecture of Stein on plane dissections, Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583—592, doi:10.1007/BF02571264, MR 1082876
- ↑ Стейн, Шерман; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, т. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282
- ↑ Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, с. 121, архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020,
If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon
- ↑ Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting, Springer, с. 28, ISBN 9783319107417, архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020
- ↑ Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World, Cambridge University Press, с. 125, ISBN 9780883858035, архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020