Ендоморфізм Фробеніуса

Ендоморфізм Фробеніуса — ендоморфізм комутативного кільця простої характеристики p, задається формулою $x\mapsto x^{p}$. У деяких випадках, наприклад, у разі скінченного поля, ендоморфізм Фробеніуса є автоморфізмом, проте в загальному випадку це не так.

Означення

Нехай R — комутативне кільце простої характеристики p (зокрема, такою є будь-яка область цілісності ненульової характеристики). Ендоморфізм Фробеніуса кільця R задається формулою $F(x)=x^{p}$.

Ендоморфізм Фробеніуса є гомоморфізмом кілець оскільки $(xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ (щоб довести другу тотожність, достатньо розписати ліву частину за формулою бінома Ньютона і зазначити, що всі біноміальні коефіцієнти, крім першого і останнього, подільні на p ).

Основні властивості

• Якщо $\varphi :R\to S$ — довільний гомоморфізм кілець простої характеристики p, то $\varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p}$, тобто: $\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi$.

Це означає, що ендоморфізм Фробеніуса є натуральним перетворенням тотожного функтора (на категорії комутативних кілець характеристики p) в себе.

• Якщо кільце R не містить нетривіальних нільпотентів, то ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним (оскільки його ядро є рівним нулю). Обернене твердження теж є вірним: якщо $x$ - нетривіальний нільпотентний елемент, такий що для $x^{n}=0$ але $x^{n+1}\neq 0$ для деякого $n>1$, то $(x^{n-1})^{p}=0$.

• Ендоморфізм Фробеніуса не обов'язково є сюр'єктивним, навіть якщо R є полем. Наприклад, нехай $R=\mathbb {F} _{p}(t)$ - поле раціональних функцій з коефіцієнтами в $\mathbb {F} _{p}$, тоді функція $t$ не є образом ендоморфізму Фробеніуса. Поле k називається досконалим, якщо його характеристика дорівнює нулю, або характеристика є рівною p і ендоморфізм Фробеніуса $F(x)=x^{p}$ є сюр'єктивним (а отже є автоморфізмом). Зокрема, всі скінченні поля є досконалими.

Нерухомі точки

Розглянемо скінченне поле $\mathbb {F} _{p}$. Згідно малої теореми Ферма, всі елементи цього поля задовольняють рівняння $x^{p}=x$. Рівняння p-го степеня не може мати більше p коренів, отже, в будь-якому розширенні поля $\mathbb {F} _{p}$ нерухомі точки ендоморфізму Фробеніуса — елементи поля $\mathbb {F} _{p}$. Аналогічне твердження вірне для цілісних кілець характеристики p.

Подібні властивості задовольняють і степені ендоморфізму Фробеніуса. Якщо $\mathbb {F} _{p^{k}}$ — скінченне поле, всі його елементи задовольняють рівняння $x^{p^{k}}=x$ і в будь-якому розширенні цього поля елементи вихідного поля є нерухомими точками k-го степеня ендоморфізму Фробеніуса, тобто нерухомими точками $x\mapsto x^{p^{k}}$.

Породжуючий елемент групи Галуа

Група Галуа скінченного розширення скінченного поля є циклічною і породжується степенем ендоморфізму Фробеніуса.

Розглянемо спочатку випадок, коли основне поле є рівним $\mathbb {F} _{p}$. Нехай $\mathbb {F} _{q}$ — скінченне поле, де $q=p^{n}$. Ендоморфізм Фробеніуса $F$ зберігає елементи простого поля $\mathbb {F} _{p}$. Також $F$ у цьому випадку є автоморфізмом оскільки для полів характеристики p: $(x-y)^{p}=x^{p}-y^{p}$, тож $F(x)=F(y)$ тоді і тільки тоді коли $x=y$. Тобто ендоморфізм Фробеніуса є елементом групи Галуа розширення $\mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p}$. До того ж ця група є циклічною і породжується $F$.

Справді $F^{n}(x)=x^{p^{n}}=x$ для всіх $x\in \mathbb {F} _{q}$, тож $F^{n}$ є тотожним відображенням. З іншого боку для $d<n$ рівність $F^{d}(x)=x^{p^{d}}=x$ може виконуватися лише щонайбільше для $p^{d}$ елементів поля $\mathbb {F} _{q}$, тож $F^{d}$ не є тотожним відображенням і автоморфізми $F^{0},F,F^{2},\ldots ,F^{n-1}$ є різними. Але згідно базових результатів теорії Галуа оскільки $[\mathbb {F} _{q}:\mathbb {F} _{p}]=n$ то і порядок групи Галуа теж є рівним p. Тому всі елементи цієї групи є степенями ендоморфізму Фробеніуса.

У розширенні $\mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}$ для n-ого степеня ендоморфізма Фробеніуса $F^{n}$ (який теж є автоморфізмом) полем нерухомих точок є $\mathbb {F} _{q}$. Подібно як і вище можна довести, що група Галуа цього розширення породжується $F^{n}$ і має порядок $k$.

Для розширень $\mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}$ відображення $F_{\mathbb {F} _{q^{k}}/\mathbb {F} _{q}}=F^{n}(x)=x^{p^{n}}$ також називають автоморфізмом Фробеніуса цього розширення.

Застосування в теорії чисел

Локальні поля

Нехай k — локальне поле із скінченним полем лишків ${\bar {k}}$, а K — нерозгалужене скінченне розширення поля k. Тоді автоморфізм Фробеніуса розширень скінченних полів лишків $F_{{\bar {K}}/{\bar {k}}}$ однозначно продовжується до автоморфізму розширення $K/k$, що теж називається автоморфізмом Фробеніуса і позначається $F_{K/k}$. Нехай $|{\bar {k}}|=q=p^{n}$, ${\mathcal {O}}_{K}$-кільце цілих елементів поля K і ${\mathfrak {p}}$ — максимальний ідеал в ${\mathcal {O}}_{K}$. Тоді автоморфізм Фробеніуса однозначно визначається умовою:

$F_{K/k}(x)\equiv x^{q}\mod {\mathfrak {p}}$

для будь-якого $x\in {\mathcal {O}}_{K}$.

Якщо $K/k$ — довільне скінченне розширення Галуа локальних полів, то автоморфізмом Фробеніуса розширення $K/k$ іноді називають будь-який автоморфізм, що індукує на максимальному нерозгалуженому підрозширенні поля $K$ автоморфізм Фробеніуса у зазначеному вище означенні.

Глобальні поля

Нехай $K/k$ — скінченне розширення Галуа глобальних полів, ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал поля k і ${\mathfrak {B}}$ — деякий простий ідеал поля K, що лежить над ${\mathfrak {p}}$. Нехай також ${\mathfrak {B}}$ є розгалуженим в розширенні $K/k$.

Тоді можна перейти до поповнень і ввести $F_{\mathfrak {B}}=F_{K_{\mathfrak {B}}/k{\mathfrak {p}}}\in$. Ототожнюючи групу Галуа $\operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {B}}/k_{\mathfrak {p}})$ із підгрупою розкладання ідеалу ${\mathfrak {B}}$ у групі $\operatorname {Gal} (K/k)$, можна розглядати $F_{\mathfrak {B}}$ як елемент групи $\operatorname {Gal} (K/k)$. Цей елемент називається автоморфізмом Фробеніуса простого ідеалу ${\mathfrak {B}}$ і породжує його групу розкладу. Відповідно до теореми Чеботарьова про щільність для будь-якого автоморфізму $\sigma \in \operatorname {Gal} (K/k)$ існує нескінченна кількість простих нерозгалужених в $K/k$ ідеалів ${\mathfrak {B}}$ для яких $F_{\mathfrak {B}}=\sigma$.

Для абелевого розширення $K/k$ автоморфізм Фробеніуса залежить тільки від ${\mathfrak {p}}$. У цьому випадку він також називається відображенням Артіна простого ідеалу ${\mathfrak {p}}$.

Див. також

• Група Галуа
• Скінченне поле

Посилання

• Timothy Murphy. Course 373 Finite Fields [Архівовано 28 вересня 2016 у Wayback Machine.]

Література

• Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3
• Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic number fields, Graduate Studies in Mathematics, т. 7 (вид. second), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0429-4, MR 1362545