Ендоморфізм Фробеніуса

Ендоморфізм Фробеніусаендоморфізм комутативного кільця простий характеристики p, задається формулою . У деяких випадках, наприклад, у разі скінченного поля, ендоморфізм Фробеніуса є автоморфізмом, проте в загальному випадку це не так.

ОзначенняРедагувати

Нехай R — комутативне кільце простої характеристики p (зокрема, такою є будь-яка область цілісності ненульової характеристики). Ендоморфізм Фробеніуса кільця R задається формулою  .

Ендоморфізм Фробеніуса є гомоморфізмом кілець оскільки   (для того, щоб довести останню тотожність, досить розписати ліву частину за формулою бінома Ньютона і помітити, що всі біноміальні коефіцієнти, крім першого і останнього, діляться на p ).

Основні властивостіРедагувати

  • Якщо   — довільний гомоморфізм кілець простої характеристики p, то  , тобто:  .
Це означає, що ендоморфізм Фробеніуса є натуральним перетворенням тотожного функтора (на категорії комутативних кілець характеристики p) в себе.
  • Якщо кільце R не містить нетривіальних нільпотентів, то ендоморфізм Фробеніуса є ін'ективним (оскільки його ядро є рівним нулю). Обернене твердження теж є вірним: якщо   - нетривіальний нільпотентний елемент, такий що для   але   для деякого  , то  .
  • Ендоморфізм Фробеніуса не обов'язково є сюр'єктивним, навіть якщо R є полем. Наприклад, нехай   - поле раціональних функцій з коефіцієнтами в  , тоді функція   не є образом ендоморфізму Фробеніуса. Поле k називається досконалим, якщо його характеристика дорівнює нулю, або характеристика є рівною p і ендоморфізм Фробеніуса   є сюр'єктивним (а отже є автоморфізмом). Зокрема, всі скінченні поля є досконалими.

Нерухомі точкиРедагувати

Розглянемо скінченне поле  . Згідно малої теореми Ферма, всі елементи цього поля задовольняють рівняння  . Рівняння p-го степеня не може мати більше p коренів, отже, в будь-якому розширенні поля   нерухомі точки ендоморфізму Фробеніуса — елементи поля  . Аналогічне твердження вірне для цілісних кілець характеристики p.

Подібні властивості задовольняють і степені ендоморфізму Фробеніуса. Якщо   — скінченне поле, всі його елементи задовольняють рівняння   і в будь-якому розширенні цього поля елементи вихідного поля є нерухомими точками k-го степеня ендоморфізму Фробеніуса, тобто нерухомими точками  .

Породжуючий елемент групи ГалуаРедагувати

Група Галуа скінченного розширення скінченного поля є циклічною і породжується степенем ендоморфізму Фробеніуса.

Розглянемо спочатку випадок, коли основне поле є рівним  . Нехай   — скінченне поле, де  . Ендоморфізм Фробеніуса   зберігає елементи простого поля  . Також   у цьому випадку є автоморфізмом оскільки для полів характеристики p:  , тож   тоді і тільки тоді коли  . Тобто ендоморфізм Фробеніуса є елементом групи Галуа розширення  . До того ж ця група є циклічною і породжується  .

Справді   для всіх  , тож   є тотожним відображенням. З іншого боку для   рівність   може виконуватися лише щонайбільше для   елементів поля  , тож   не є тотожним відображенням і автоморфізми   є різними. Але згідно базових результатів теорії Галуа оскільки   то і порядок групи Галуа теж є рівним p. Тому всі елементи цієї групи є степенями ендоморфізму Фробеніуса.

У розширенні   для n-ого степеня ендоморфізма Фробеніуса   (який теж є автоморфізмом) полем нерухомих точок є  . Подібно як і вище можна довести, що група Галуа цього розширення породжується   і має порядок  .

Для розширень   відображення   також називають автоморфізмом Фробеніуса цього розширення.

Застосування в теорії чиселРедагувати

Локальні поляРедагувати

Нехай kлокальне поле із скінченним полем лишків  , а K — нерозгалужене скінченне розширення поля k. Тоді автоморфізм Фробеніуса розширень скінченних полів лишків   однозначно продовжується до автоморфізму розширення  , що теж називається автоморфізмом Фробеніуса і позначається  . Нехай  ,  -кільце цілих елементів поля K і   — максимальний ідеал в  . Тоді автоморфізм Фробеніуса однозначно визначається умовою:

 
для будь-якого  .

Якщо   — довільне скінченне розширення Галуа локальних полів, то автоморфізмом Фробеніуса розширення   іноді називають будь-який автоморфізм, що індукує на максимальному нерозгалуженому підрозширенні поля   автоморфізм Фробеніуса у зазначеному вище означенні.

Глобальні поляРедагувати

Нехай   — скінченне розширення Галуа глобальних полів,   — простий ідеал поля k і   — деякий простий ідеал поля K, що лежить над  . Нехай також   є розгалуженим в розширенні  .

Тоді можна перейти до поповнень і ввести  . Ототожнюючи групу Галуа   із підгрупою розкладання ідеалу   у групі  , можна розглядати   як елемент групи  . Цей елемент називається автоморфізмом Фробеніуса простого ідеалу   і породжує його групу розкладу. Відповідно до теореми Чеботарьова про щільність для будь-якого автоморфізму   існує нескінченна кількість простих нерозгалужених в   ідеалів   для яких  .

Для абелевого розширення   автоморфізм Фробеніуса залежить тільки від  . У цьому випадку він також називається відображенням Артіна простого ідеалу  .

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Garling, D.J.H. (1986). A Course in Galois Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31249-3. 
  • Janusz, Gerald J. (1996). Algebraic number fields. Graduate Studies in Mathematics 7 (вид. second). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. MR 1362545.