Гіперболічна ортогональність

поняття в евклідовій геометрії

Гіперболічна ортогональність — поняття в евклідовій геометрії. Дві лінії називаються гіперболічно ортогональними, якщо вони є відбиттям одна одної відносно асимптоти даної гіперболи.

Евклідова ортогональність зберігається під час обертання на лівому малюнку; гіперболічна ортогональність відносно гіперболи (В) зберігається під час гіперболічного обертання на правому малюнку

На площині часто використовують дві особливі гіперболи:

(A) xy = 1 з асимптотою y = 0.
При відбитті відносно осі x, лінія y = mx стає y = -mx.
В цьому випадку лінії є гіперболічно ортогональними, якщо їхні кутові коефіцієнти є протилежними числами.
(B) x2 — y2 = 1 з асимптотою y = x.
Для ліній y = mx при -1 < m <1, якщо x = 1/m, то y = 1.
Точка (1/m, 1) на лінії відбивається відносно y = x у точку (1, 1/m).
Тому відбита лінія має кутовий коефіцієнт 1/m, а кутові коефіцієнти гіперболічно ортогональних ліній — взаємно обернені.

Відношення гіперболічної ортогональності фактично застосовується до класів паралельних прямих на площині, де будь-яка конкретна лінія може представляти клас. Таким чином, для даної гіперболи і асимптоти A пара прямих (a, b) є гіперболічно ортогональними, якщо існує пара (c, d) така, що , а c — це відбиття d відносно A.

Властивість радіуса, ортогонального до дотичної до кривої, розширюється від кола на гіперболу за допомогою поняття гіперболічної ортогональності.[1][2]

Від моменту появи 1908 року простору-часу Мінковського введено концепцію гіперболічно ортогональних до лінії часу (дотична до світової лінії) точок в площині простору-часу, для визначення одночасності подій відносно заданої лінії часу. У дослідженні Мінковського використовується гіпербола типу (B)[3]. Два вектори є нормальними (в сенсі гіперболічної ортогональності) якщо

Якщо c = 1, yi і zi дорівнюють нулю, x1 ≠ 0, t2 ≠ 0, то .

В аналітичній геометрії для опису ортогональності використовується білінійна форма, причому два елементи ортогональні, коли їхня білінійна форма обертається на нуль. У площині комплексних чисел , білінійна форма є , тоді як у площині гіперболічних чисел білінійна форма є

Два вектора z1 і z2 в комплексній площині, і w1 і w2 в гіперболічній площині називаються відповідно евклідово ортогональними і гіперболічно ортогональними, якщо їх відповідні внутрішні добутки білінійних форм дорівнюють нулю.[4]

Для даної гіперболи з асимптотою А, її відбиття в А дає пов'язану гіперболу. Будь-який діаметр початкової гіперболи відбивається в спряжений діаметр[en]. У теорії відносності напрямки, задані спряженими діаметрами, беруться в за просторові й часові осі.

Як писав 1910 року E. Т. Віттакер, «гіпербола не змінюється, якщо будь-яка пара спряжених діаметрів приймається за нові осі, а нова одиниця довжини береться пропорційно довжині будь-якого з цих діаметрів».[5] На цьому принципі відносності він потім написав перетворення Лоренца в сучасній формі з використанням поняття стрімкість.

Едвін Б. Вілсон[en] і Гілберт Н. Льюїс розробили 1912 року концепцію в рамках синтетичної геометрії. Вони відзначають, що «в нашій площині жодна пара перпендикулярних гіперболічно ортогональних ліній не підходить як осі координат краще, ніж будь-яка інша пара»[1].

Поняття гіперболічної ортогональності виникло в аналітичній геометрії з урахуванням спряжених діаметрів еліпсів і гіпербол[6]. Якщо g і g' - кутові коефіцієнти пов'язаних діаметрів, то в разі еліпса і в разі гіперболи. Якщо a = b, еліпс являє собою коло, спряжені діаметри перпендикулярні, гіпербола — прямокутна, а спряжені діаметри — гіперболічно ортогональні.

У термінології проєктивної геометрії операція взяття гіперболічної ортогональної лінії є інволюція. Припустимо, що кутовий коефіцієнт вертикальної лінії позначено як ∞, тоді всі лінії мають кутовий коефіцієнт у проєктивно розширеній числовій прямій. Потім, залежно від того, яка з гіпербол (A) чи (B) використовується, операція є прикладом гіперболічної інволюції, де асимптота інваріантна.

ПриміткиРедагувати

  1. а б Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) «The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics» Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507, esp. 415
  2. Bjørn Felsager (2004), Through the Looking Glass — A glimpse of Euclid's twin geometry, the Minkowski geometry [Архівовано 16 липня 2011 у Wayback Machine.], ICME-10 Copenhagen; pages 6 & 7.
  3. Minkowski, Hermann (1909). Raum und Zeit. Physikalische Zeitschrift 10: 75–88. 
  4. Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane [Архівовано 13 листопада 2013 у Wayback Machine.], also published in College Mathematics Journal 26:268-80.
  5. E. T. Whittaker (1910) A History of the theories of aether and electricity Dublin: Longmans, Green and Co. (see page 441)
  6. Barry Spain (1957) Analytical Conics [Архівовано 5 березня 2016 у Wayback Machine.], ellipse § 33, page 38 and hyperbola § 41, page 49, from HathiTrust

ЛітератураРедагувати