У теорії ймовірностей бета-негативний біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей дискретної випадкової величини
X
{\displaystyle X}
r
{\displaystyle r}
незалежних випробувань Бернуллі . Ймовірність
p
{\displaystyle p}
бета-розподілу . Отже, розподіл є складеним розподілом ймовірностей.
Beta Negative Binomial Параметри
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
форма (дійсний )
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
дійсний (real )
r
>
0
{\displaystyle r>0}
ціле , але можна розширити на дійсні числа ) Носій функції
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}
Розподіл імовірностей
B
(
r
+
k
,
α
+
β
)
B
(
r
,
α
)
Γ
(
k
+
β
)
k
!
Γ
(
β
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}
Середнє
{
r
β
α
−
1
якщо
α
>
1
∞
інакше
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r\beta }{\alpha -1}}&{\text{якщо}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}}
Дисперсія
{
r
(
α
+
r
−
1
)
β
(
α
+
β
−
1
)
(
α
−
2
)
(
α
−
1
)
2
якщо
α
>
2
∞
інакше
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{якщо}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}}
Коефіцієнт асиметрії
{
(
α
+
2
r
−
1
)
(
α
+
2
β
−
1
)
(
α
−
3
)
r
(
α
+
r
−
1
)
β
(
α
+
β
−
1
)
α
−
2
якщо
α
>
3
∞
інакше
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(\alpha +2r-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{якщо}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}}
Твірна функція моментів (mgf)
не існує Характеристична функція
Γ
(
α
+
r
)
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
α
+
β
+
r
)
Γ
(
α
)
2
F
1
(
r
,
β
;
α
+
β
+
r
;
e
i
t
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +r)\Gamma (\alpha )}}{}_{2}F_{1}(r,\beta ;\alpha +\beta +r;e^{it})\!}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
гамма-функція і
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
гіпергеометрична функція .
Цей розподіл також називають зворотним розподілом Маркова-Пойя та узагальненим розподілом Варінга [1] бета-розподілом Паскаля [1]
Якщо параметри бета-розподілу є
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
X
∣
p
∼
N
B
(
r
,
p
)
,
{\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}
де
p
∼
B
(
α
,
β
)
,
{\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}
тоді граничний розподіл
X
{\displaystyle X}
X
∼
B
N
B
(
r
,
α
,
β
)
.
{\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).}
У наведеному вище,
N
B
(
r
,
p
)
{\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}
від’ємним біноміальним розподілом і
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}
бета-розподіл .
Означення
ред.
Якщо
r
{\displaystyle r}
бета-функцію :
f
(
k
|
α
,
β
,
r
)
=
(
r
+
k
−
1
k
)
B
(
α
+
r
,
β
+
k
)
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}
Узагальнюючи можна записати
f
(
k
|
α
,
β
,
r
)
=
Γ
(
r
+
k
)
k
!
Γ
(
r
)
B
(
α
+
r
,
β
+
k
)
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}
або
f
(
k
|
α
,
β
,
r
)
=
B
(
r
+
k
,
α
+
β
)
B
(
r
,
α
)
Γ
(
k
+
β
)
k
!
Γ
(
β
)
{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}
Функція ймовірностей, виражена через гамма функцію
ред.
Використовуючи властивості бета-функції , функція ймовірності для цілого
r
{\displaystyle r}
f
(
k
|
α
,
β
,
r
)
=
(
r
+
k
−
1
k
)
Γ
(
α
+
r
)
Γ
(
β
+
k
)
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
α
+
r
+
β
+
k
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}
У більш загальному вигляді можна записати
f
(
k
|
α
,
β
,
r
)
=
Γ
(
r
+
k
)
k
!
Γ
(
r
)
Γ
(
α
+
r
)
Γ
(
β
+
k
)
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
α
+
r
+
β
+
k
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}
Вираження через символи Похамера
ред.
Функція ймовірностей часто також можна подати в термінах символів Похамера для цілого числа
r
{\displaystyle r}
f
(
k
|
α
,
β
,
r
)
=
r
(
k
)
α
(
r
)
β
(
k
)
k
!
(
α
+
β
)
(
r
+
k
)
{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r+k)}}}}
Властивості
ред.
Неідентифіковність
ред.
Бета-негативний біноміальний розподіл є неідентифіковним, що можна легко помітити, просто міняючи місцями
r
{\displaystyle r}
β
{\displaystyle \beta }
характеристичній функції та відзначити, що вони незмінюються. Отже, оцінка вимагає встановлення обмежень на котрийсь з параметрів
r
{\displaystyle r}
β
{\displaystyle \beta }
Зв'язок з іншими розподілами
ред.
Бета-негативний біноміальний розподіл містить бета-геометричний розподіл як окремий випадок, коли
r
=
1
{\displaystyle r=1}
геометричний розподіл . Він також дуже добре апроксимує негативний біноміальний розподіл для великих
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
розподіл Пуассона для великих
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
r
{\displaystyle r}
Важкохвостий
ред.
За допомогою наближення Стірлінга бета-функції можна легко показати, що для великих
k
{\displaystyle k}
f
(
k
|
α
,
β
,
r
)
∼
Γ
(
α
+
r
)
Γ
(
r
)
B
(
α
,
β
)
k
r
−
1
(
β
+
k
)
r
+
α
{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}}
це означає, що бета-негативний біноміальний розподіл має важкі хвости і що моменти менші або рівні
α
{\displaystyle \alpha }
Бета-геометричний розподіл
ред.
Бета-геометричний розподіл є важливим окремим випадком бета-негативного біноміального розподілу, що виникає при
r
=
1
{\displaystyle r=1}
f
(
k
|
α
,
β
)
=
B
(
α
+
1
,
β
+
k
)
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}
Цей розподіл використовується в моделях Buy Till You Die (BTYD).
Далі, коли
β
=
1
{\displaystyle \beta =1}
X
∼
B
G
(
α
,
1
)
{\displaystyle X\sim BG(\alpha ,1)}
X
+
1
∼
Y
S
(
α
)
{\displaystyle X+1\sim YS(\alpha )}
Див. також
ред.
Примітки
ред.
↑ а б Johnson et al. (1993)
Список літератури
ред.
Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions , 2nd edition, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (Section 6.2.3)
Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211
Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference , 141 (3), 1153-1160 DOI :10.1016/j.jspi.2010.09.020 Зовнішні посилання
ред.
