Від'ємний біноміальний розподіл

Від’ємний біноміальний розподіл в теорії імовірностей — розподіл дискретної випадкової величини, рівної кількості невдач в послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху , проведеній до -го успіху.

ОзначенняРедагувати

Нехай   — послідовність незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі, тобто

 

Побудуємо випадкову величину   наступним чином. Нехай   — номер  -го успіху в цій послідовності. Тоді  . Більш строго, покладемо  . Тоді

 .

Розподіл випадкової величини  , визначеної таким чином, називається від’ємним біноміальним. Пишуть:  .

Функції ймовірності і розподілуРедагувати

Функція ймовірностей випадкової величини   має вигляд:

 .

Функція розподілу   кусково-постійна, і її значення в цілих точках може бути виражене через неповну бета-функцію:

 .

МоментиРедагувати

Твірна функція моментів від’ємного біноміального розподілу має вигляд:

 ,

звідки

 ,