Проводяться n дослідів, у кожному з яких може настати певна подія («успіх») з імовірністю p (або не настати — «неуспіх» — q = 1 – p). Задача — знайти ймовірність отримати m успіхів у досліді.

Розв'язок:

Кількість успіхів — випадкова величина, що має розподіл Бернуллі.

ОзначенняРедагувати

Тепер розглянемо цю задачу детальніше. Візьмемо найпростіший стохастичний експеримент із двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею» («неуспіхом»), позначимо «0».

Нехай ймовірність успіху 0 < p < 1, тоді ймовірність невдачі 1 – p = q.

Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає у n-кратному повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.

Зрозуміло, що простір елементарних подій Ω, що відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде   (1),  . За σ-алгебру подій   візьмемо булеан простору елементарних подій   (2). Кожній елементарній події   поставимо у відповідність число  . Тобто, якщо в елементарній події ω успіх спостерігався k разів, а неуспіх n – k раз, то  . Нехай  , тоді  . Також очевидною є нормованість ймовірності:  .

Отже, поставивши у відповідність кожній події   числове значення   (3), ми задаємо ймовірність  . Побудований простір  , де Ω — простір елементарних подій, визначений рівністю (1),   — σ-алгебра, визначена рівністю (2), Pймовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для n випробувань.

Набір чисел   називається біноміальним розподілом.

Розширене означенняРедагувати

Звичайна формула Бернуллі застосовується у випадку, коли при кожному випробуванні є можливою одна із двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли при кожному випробуванні виникає одна і тільки одна із   подій з ймовірністю  , де  . Ймовірність з'явлення   раз першої подій і   — другої і   раз k-ї знаходиться за формулою

 ,

де  

ВластивостіРедагувати

Нехай p — ймовірність успіху в схемі Бернуллі, q = 1 – p.Тоді найімовірнішою серед подій   є подія  , де   можна знайти з нерівності  .

ТеоремиРедагувати

Для схеми Бернуллі виконуються теорема Пуассона, локальна теорема Муавра — Лапласа, інтегральна теорема Муавра — Лапласа.

ПосиланняРедагувати