R-функція

числова функція дійсних змінних, знак якої цілком визначається знаками її аргументів

R-функція (функція Рвачова) — числова функція дійсних змінних, знак якої цілком визначається знаками її аргументів за відповідного розбиття числової осі на інтервали і . Вперше R-функції введено в роботах В. Л. Рвачова[1][2][3]. На відміну від класичної аналітичної геометрії, теорія R-функцій займається синтезом задач і рівнянь з відомими властивостями.[4]

Для вивчення R-функцій потрібно знати не тільки класичну аналітичну геометрію, але й теорію множин.

Визначення ред.

Числова функція   називається R-функцією, якщо існує така супровідна булева функція   з таким самим числом аргументів, що

 

Аналогічно вводиться поняття R-функції за кількості аргументів  

Кожній R-функції відповідає єдина супровідна булева функція. Зворотне хибне: одній булевій функції відповідає нескінченне число (гілка) R-функцій.

Множина R-функцій замкнута в сенсі суперпозиції R-функцій. Систему R-функцій   називають достатньо повною, якщо множина всіх суперпозицій елементів   (множина  -реалізовних функцій) має непорожній перетин із кожною гілкою множини R-функцій. Достатньою умовою повноти є повнота системи   відповідних супровідних булевих функцій.

Повні системи R-функцій ред.

Найчастіше використовують повну систему R-функцій   (при  ):

 
 
 

При   маємо систему  :

 

при   маємо систему  :

 

В останньому випадку R-функції кон'юнкції і диз'юнкції збігаються з відповідними t-нормою[en] і t-конормою нечіткої логіки:

 

Застосування ред.

За допомогою R-функцій виявляється можливою побудова в неявній формі рівнянь меж складених ділянок за відомими рівняннями простих ділянок. Опис межі складеної ділянки у вигляді єдиного аналітичного виразу дозволяє створювати структури розв'язування крайових задач математичної фізики, що залежать від невизначених компонент і точно задовольняють граничним умовам. Невизначені компоненти таких структур можна далі знаходити одним з варіаційних або проєкційних методів розв'язування крайових задач (колокації, Релея — Рітца, Бубнова — Гальоркіна Петрова, найменших квадратів. Метод розв'язування крайових задач для рівнянь у часткових похідних на основі теорії R-функцій має назву структурного методу R-функцій або, в зарубіжній літературі, RFM (R-Functions Method).

R-функції можна розглядати як інструмент нескінченнозначної логіки або нечіткої логіки.

R-функції використовують (переважно вихованці харківської наукової школи) під час розв'язування широкого класу задач математичної фізики (теорії пружності[5][6][7][8][9], електродинаміки[10][11][12], теорії теплопровідності[13][14][15][16]), а також у багатовимірній цифровій обробці сигналів і зображень[17], машинній графіці та інших галузях.

Застосування теорії R-функцій і вейвлетів до розв'язування крайових задач математичної фізики ред.

У роботі професора В. П. Кравченка і його учня А. В. Юріна[12] запропоновано й обґрунтовано новий метод, заснований на теорії R-функцій і WA-систем функцій[18][19][20] (вейвлетів, побудованих на основі атомарних функцій), із застосуванням варіаційного принципу Гальоркіна — Петрова.

При розгляді широкого класу крайових задач різної фізичної природи виникає необхідність у розв'язуванні диференціальних рівнянь у часткових похідних, у яких досліджувана ділянка має складну конфігурацію. У таких випадках, як правило, використовуються чисельні методи: сіткові (метод скінченних різниць, скінченних елементів, граничних елементів), варіаційні та проєкційні (метод Рітца, Бубнова — Гальоркіна Петрова, колокацій, Трефтца, метод найменших квадратів, метод фіктивних ділянок R-функцій). Однак, кожен з них має свої переваги і недоліки. Так, сіткові методи мають велику ефективність алгоритму (тому й набули значного поширення), але при цьому не точно враховують геометрію досліджуваного об'єкта. У разі варіаційних методів не завжди можна побудувати базисні функції, які задовольняли б усім необхідним умовам. Тому їх використання обмежене. Слід особливо наголосити на методі R-функцій[11], який володіє геометричною гнучкістю й універсальністю відносно вибраного способу мінімізації функціоналу. Застосування такого підходу вимагає значних обчислювальних витрат. Це обумовлено використанням структурних формул, в основі яких лежать побудовані за допомогою R-операцій функції ділянки. Такі функції можуть мати складну структуру, а для обчислення інтегралів від них за ділянкою нестандартної форми необхідно використовувати квадратурні формули з високим порядком точності. Вейвлет-базиси дозволяють обійти зазначені вище недоліки завдяки своїм унікальним властивостям[21][22] і розробити адаптивну розрахункову схему без використання операції інтегрування. Такий підхід можливий завдяки введенню спеціальних коефіцієнтів, що відбивають диференціальні й інтегральні характеристики базису, а також коефіцієнтів розкладу за вейвлетами функцій ділянки, крайових умов і правої частини рівняння. Основним інструментом для реалізації нового методу на основі R-функцій і вейвлетів є схема Гальоркіна — Петрова[23][24] розв'язування диференціальних рівнянь у часткових похідних.

У роботах[12][20] на прикладі розв'язування крайових задач еліптичного типу показано ефективність методу R-функцій (функцій В. Л. Рвачова) в поєднанні з WA-системами функцій[18].

Примітки ред.

  1. Рвачёв В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. — Киев: Техніка, 1967.
  2. Рвачёв В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. — Киев: Наук. думка, 1974.
  3. Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наук. думка 1982.
  4. Каледин, Валерий Олегович. Теория R-функций: учебное пособие для высших учебных заведений по направлению Прикладная математика и информатика: рек. УМО вузов РФ / В. О. Каледин, Е. В. Решетникова, В. Б. Гридчина ; Кемеровский гос. ун-т, Новокузнецкий ин-т (фил.). — 2-е изд., перераб. и доп. — Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2017. — 119 с.
  5. Рвачёв В. Л., Курпа Л. В., Склепус Н. Г., Учишвили Л. А. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. — Киев: Наукова думка, 1973.
  6. Рвачёв В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. — Киев: Наукова думка, 1977.
  7. Рвачёв В. Л., Курпа Л. В. R-функции в задачах теории пластин. — Киев: Наукова думка 1987.
  8. Рвачёв В. Л., Синекоп Н. С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. — Киев: Наукова думка 1990.
  9. Победря Б. Е.[ru] Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во МГУ, 1995.
  10. Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. — М.: Физматлит, 2004.
  11. а б Кравченко В. Ф., Рвачёв В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006.
  12. а б в В. Ф. Кравченко, А. В. Юрин. Применение теории R-функций и вейвлетов к решению краевых задач эллиптического типа. Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т.14. № 3. С. 4-39.
  13. Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. — Киев: Наук. думка, 1978.
  14. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. — М.: Радиотехника, 2005.
  15. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008.
  16. Матвеев В. А., Лунин Б. С., Басараб М. А. Навигационные системы на волновых твердотельных гироскопах. — М.: Физматлит, 2008.
  17. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007.
  18. а б В.Ф. Кравченко, О.С. Лабунько, А.М. Лерер, Г.П. Синявский. Глава 3, 4 // Вычислительные методы в современной радиофизике. Под. ред. В.Ф. Кравченко. — Москва : Физматлит, 2009.
  19. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В., Юрин А.В. Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть II // Радиотехника и электроника : обзор. — 2015. — № Т. 60. № 2 (5 травня). — С. 109-148.
  20. а б Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В., Юрин А.В. Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть IV // Радиотехника и электроника. — 2015. — Т. 60, № 11 (5 травня). — С. 1113-1152.
  21. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
  22. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2006.
  23. Обэн Ж. П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1972.
  24. Красносельский М. А., Вайненко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

Див. також ред.

Посилання ред.