Метод Гальоркіна — чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею математичної фізики.

Загальне формулюванняРедагувати

Нехай є диференціальне рівняння з деякими крайовими умовами (першого роду)

 , , (1)
 , .

Наближений розв'язок шукаємо у вигляді наступної суми

 , (2)

де

  — деяка неперервна функція, що задовільняє крайові умови (1),
 ,  , якась система лінійно незалежних функцій, повна в класі неперервних функцій, що визначені на відрізку [a,b] і набувають нульових значень на його кінцях.

Якщо для функції   вираз   є ортогональним до   при  , то   — розв'язок задачі (1).

Якщо ортогональність є тільки при  , то

 .

Замість   будемо брати наближений розв'язок у формі (2) і будемо вимагати, щоб

 

Застосування до квантової механікиРедагувати

Нехай є диференціальне рівняння на функцію u(x)-

 

де H - оператор.

Саму функцію   представляють у вигляді суми -

 .

Метод дає нам саме коефіцієнти  .

Розглянемо функції   на [0,∞).

 

Домножимо рівняння   на   і проінтегруємо, маємо -

 
 .

Введемо наступне позначення -

 .

Маємо систему лінійних рівнянь -

 .

Яка розв'язується за умови -

 .

ПосиланняРедагувати