Функція експоненційного типу
В комплексному аналізі, галузі математики, голоморфну функцію називають функцією експоненціального типу C, якщо її зростання обмежене експоненційною функцією , для деякої дійсної константи при . Якщо функція має таку властивість, то її можна виразити як певного роду збіжних сум рядів комплексних функцій, а також ясність щодо того, коли можна застосовувати такі прийоми, як сумування за Борелем, чи наприклад, застосувати перетворення Мелліна, або подати фукцію у вигляді розкладу Ейлера–Маклорена. У загальному випадку пояснюється теоремою Начбіна, яка визначає аналогічне поняття Ψ-типу в просторі всіх функцій порівняно з .
Основна ідея
ред.Кажуть, що функція , визначена на комплексній площині, є експоненційним типом, якщо існують дійсні константи і такі, що
при . Тут комплексна змінна записана у формі аби підкреслити, що границя має виконуватися в усіх напрямках . Якщо інфімум усіх таких , тоді кажуть, що функція має експоненційний тип .
Наприклад, нехай . Тоді кажуть що експоненційного типу , оскільки є найменшим числом, яке обмежує зростання вздовж уявної осі. Отже, у цьому прикладі не можна застосувати теорему Карлсона, оскільки для її застосування потрібно функції експоненційного типу менше . Подібним чином не можна застосовувати формулу Ейлера – Маклауріна, оскільки вона також виражає твердження, що базується на скінченних різниць.
Формальне означення
ред.Про голоморфну функцію кажуть, що вона експоненційного типу , якщо для кожного існує дійсне число , що
для де . Кажуть , що вона експоненційного типу, якщо експоненційного типу для якогось . Число
є експоненційним типом . Ця верхня границя означає границю супремуму відносини за межами заданого радіуса, як радіус прагне до нескінченності. Це теж межа, відмінний від максимального коефіцієнта в заданому радіусі, а радіус прагне до нескінченності. Верхня межа може існувати, навіть якщо максимуму на радіусі р не має меж, як Р йде в нескінченність. Наприклад, для функції
значення
при асимптотичному для , а тому прямує до нуля, при до нескінченності[1], проте все ж є експоненційним типом 1, у чому можна переконатись розглянувши точку .
Експоненційний тип відносно симетричного опуклого тіла
ред.Stein, (1957) узагальнив поняття експоненційний тип для цілої функції кількох комплексних змінних. Нехай опукла, компактна і симетрична підмножина . Відомо, що для кожної такої існує відповідна норма з властивістю
Тобто, одинична куля в за мірою . Множину
називають полярною множиною, яка також є опуклою, компактною та симетричною підмножиною . До того ж можемо записати
Довизначимо з до як
Про цілу функцію -комплексних змінних кажуть що вона експоненційного типу відносно якщо для кожного існує дійснозначна константа така, що
для всіх .
Простір Фреше
ред.Набір функцій експоненційного типу можуть утворювати повний рівномірний простір, а саме простір Фреше, до топологічно індукований зліченним сімейством норм
Див. також
ред.- Теорема Пелі–Вінера
- Пелі–Вінера простору
Примітки
ред.- ↑ Насправді, навіть прямує до нуля в точці при
Література
ред.- Stein, E.M. (1957), Functions of exponential type, Ann. of Math., 2, 65: 582—592, doi:10.2307/1970066, JSTOR 1970066, MR 0085342