ред.
Права різниця — вираз виду:
Δ
h
[
f
]
(
x
)
=
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
.
{\displaystyle \ \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}
Ліва різниця — вираз виду:
∇
h
[
f
]
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
−
h
)
.
{\displaystyle \ \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).}
Центральна різниця — вираз виду:
δ
h
[
f
]
(
x
)
=
f
(
x
+
1
2
h
)
−
f
(
x
−
1
2
h
)
.
{\displaystyle \ \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).}
Похідна функції f в точці x визначена, як границя розділеної різниці
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
Δ
h
[
f
]
(
x
)
h
{\displaystyle \ f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}
Отже, права різниця поділена на h апроксимує похідну, якщо h є малим. Похибка апроксимації отримується з теореми Тейлора .
Ліва та центральна різниці теж апроксимують похідну:
Δ
h
[
f
]
(
x
)
h
−
f
′
(
x
)
=
O
(
h
)
(
h
→
0
)
.
{\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0).}
∇
h
[
f
]
(
x
)
h
−
f
′
(
x
)
=
O
(
h
)
.
{\displaystyle \ {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h).}
δ
h
[
f
]
(
x
)
h
−
f
′
(
x
)
=
O
(
h
2
)
.
{\displaystyle \ {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).}
ред.
Аналогічно до похідних вищих порядків можна отримати скінченні різниці вищих порядків. Наприклад, застосувавши центральну різницю в формулах
f
′
(
x
+
h
/
2
)
{\displaystyle f'(x+h/2)}
f
′
(
x
−
h
/
2
)
{\displaystyle f'(x-h/2)}
f
{\displaystyle f}
x , отримаємо:
f
″
(
x
)
≈
δ
h
2
[
f
]
(
x
)
h
2
=
f
(
x
+
h
)
−
2
f
(
x
)
+
f
(
x
−
h
)
h
2
.
{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}
В загальному випадку, праві, ліві та центральні різниці n -того порядку виражаються формулами:
Δ
h
n
[
f
]
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
i
)
f
(
x
+
(
n
−
i
)
h
)
,
{\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),}
∇
h
n
[
f
]
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
i
)
f
(
x
−
i
h
)
,
{\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}
δ
h
n
[
f
]
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
i
)
f
(
x
+
(
n
2
−
i
)
h
)
.
{\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}
Для непарних
n
{\displaystyle n}
h
{\displaystyle h}
h
{\displaystyle h}
δ
n
[
f
]
(
x
−
h
/
2
)
{\displaystyle \delta ^{n}[f](x-h/2)}
δ
n
[
f
]
(
x
+
h
/
2
)
{\displaystyle \delta ^{n}[f](x+h/2)}
Зв'язок скінченних різниць вищих порядків з похідними вищих порядків:
d
n
f
d
x
n
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)}
=
Δ
h
n
[
f
]
(
x
)
h
n
+
O
(
h
)
{\displaystyle ={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)}
=
∇
h
n
[
f
]
(
x
)
h
n
+
O
(
h
)
{\displaystyle ={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)}
=
δ
h
n
[
f
]
(
x
)
h
n
+
O
(
h
2
)
.
{\displaystyle ={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2}).}
Скінченні різниці вищих порядків можуть використовуватись для покращення апроксимації. Наприклад:
Δ
h
[
f
]
(
x
)
−
1
2
Δ
h
2
[
f
]
(
x
)
h
=
−
f
(
x
+
2
h
)
−
4
f
(
x
+
h
)
+
3
f
(
x
)
2
h
{\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}
апроксимує f' (x ) з точністю до h 2 . Доводиться записом вищенаведеного виразу через ряд Тейлора та зведенням подібних доданків.
=f(x+h)-f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dcde4c30f1e22c52c27ce0b50edf6b8bf56ab7)
=f(x)-f(x-h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5df53195c0b979204dec652944be449fa62a8f1)
=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3cc934a893f3928f24f105215c2dad225c673a)
}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3e4c02c80b09a742f73fd0c1ca044acd5b7c52)
}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e277e83942289787c2baa50b5ac42fd4be74e13)
}{h}}-f'(x)=O(h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ef339cec03cfbb6e6d0e9c555f270fdcf311cb)
}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c95bde6081472105b48b7c906798af00b44e3a)
}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b129472553d3c422bada897ce7d70bebb16878)
=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547d6a131754216ad9b7d3f0600ed388788fdb3c)
=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d02b454bc5bec308d6b40c4b1d6fd0e5177a6f)
=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd7b5b17a0cd910ace9cca88d7093843ccd6799)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84921e09d3f21d3fccdd043ca0c1357a4e6a6ca9)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64662f26476471f83bf7f9144e9444bb6f87279)
}{h^{n}}}+O(h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d7a516b41d8dbf2d5dabd0c84e5dd8337acef1)
}{h^{n}}}+O(h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8cf2097fe6cb3e719668cde17b2a1705ad57210)
}{h^{n}}}+O(h^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b35a5f1012ed9524667c13affee16a3b21ef511)
-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9cddb870f225e7259dcbe96bacce30960cdb45)