Відкрити головне меню

Скінченна різниця — математичний вираз виду f(x + b) − f(x + a), що широко використовується в числових методах в методі скінченних різниць для апроксимації значень функції та її похідних.

Зміст

Права, ліва та центральна різницяРедагувати

Права різниця — вираз виду:

 

Ліва різниця — вираз виду:

 

Центральна різниця — вираз виду:

 

Зв'язок з похідноюРедагувати

Похідна функції f в точці x визначена, як границя розділеної різниці

 

Отже, права різниця поділена на h апроксимує похідну, якщо h є малим. Похибка апроксимації отримується з теореми Тейлора.

Ліва та центральна різниці теж апроксимують похідну:

 
 
 

Різниці вищих порядківРедагувати

Аналогічно до похідних вищих порядків можна отримати скінченні різниці вищих порядків. Наприклад, застосувавши центральну різницю в формулах   та   для апроксимації другої похідної   в точці x, отримаємо:

 

В загальному випадку, праві, ліві та центральні різниці nth-того порядку виражаються формулами:

 
 
 

Для непарних  , коефіцієнт перед   буде не цілим. Це часом є проблемою, оскільки   є інтервалом дискретизації. Для вирішення проблеми використовують середнє від   та  .

Зв'язок скінченних різниць вищих порядків з похідними вищих порядків:

       

Скінченні різниці вищих порядків можуть використовуватись для покращення апроксимації. Наприклад:

 

апроксимає f'(x) з точністю до h2. Доводиться записом вищенаведеного виразу через ряд Тейлора та зведенням подібних доданків.

Див. такожРедагувати