Твердження
ред.
Нехай p і q два цілих числа . Для 2k разів неперервно диференційованої на проміжку
[
p
,
q
]
{\displaystyle [p,q]}
f
(
p
)
+
f
(
q
)
2
+
∑
j
=
p
+
1
q
−
1
f
(
j
)
=
∫
p
q
f
(
x
)
d
x
+
∑
j
=
1
k
b
2
j
(
2
j
)
!
(
f
(
2
j
−
1
)
(
q
)
−
f
(
2
j
−
1
)
(
p
)
)
+
R
k
{\displaystyle {\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\sum _{j=p+1}^{q-1}f\left(j\right)=\int _{p}^{q}f(x)\,dx+\sum _{j=1}^{k}{\frac {b_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_{k}}
де :
R
k
=
−
∫
p
q
f
(
2
k
)
(
x
)
B
2
k
(
x
−
⌊
x
⌋
)
(
2
k
)
!
d
x
,
{\displaystyle R_{k}=-\int _{p}^{q}f^{(2k)}(x){B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor ) \over (2k)!}\,dx,}
В даних формулах
B
i
{\displaystyle B_{i}}
i -й многочлен Бернуллі ,
B
i
(
x
−
⌊
x
⌋
)
{\displaystyle B_{i}(x-\lfloor x\rfloor )}
b i позначають числа Бернуллі : b 1 = −1/2, b 2 = 1/6, b 3 = 0, b 4 = −1/30, b 5 = 0, b 6 = 1/42, b 7 = 0, b 8 = −1/30.
Завдяки заміні змінних подібну формулу можна одержати для інтервалу межі якого не є цілими числами.
Доведення
ред.
Достатньо довести справедливість для інтервалу
[
n
,
n
+
1
]
{\displaystyle [n,n+1]}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
Нехай g — функція неперервно диференційована на інтервалі
[
n
,
n
+
1
]
{\displaystyle [n,n+1]}
∀
k
∈
N
B
k
+
1
′
=
(
k
+
1
)
B
k
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} B_{k+1}'=\left(k+1\right)B_{k}}
інтегрування частинами :
∫
n
n
+
1
g
(
t
)
B
k
(
t
−
n
)
d
t
=
[
g
(
t
)
B
k
+
1
(
t
−
n
)
k
+
1
]
n
n
+
1
−
1
k
+
1
∫
n
n
+
1
g
′
(
t
)
B
k
+
1
(
t
−
n
)
d
t
{\displaystyle \int _{n}^{n+1}g\left(t\right)B_{k}\left(t-n\right)dt=\left[{\frac {g\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)}{k+1}}\right]_{n}^{n+1}-{\frac {1}{k+1}}\int _{n}^{n+1}g'\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)dt}
Оскільки для
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2}
B
k
(
1
)
=
B
k
(
0
)
=
b
k
{\displaystyle B_{k}\left(1\right)=B_{k}\left(0\right)=b_{k}}
∫
n
n
+
1
g
(
t
)
B
k
(
t
−
n
)
d
t
=
b
k
+
1
k
+
1
(
g
(
n
+
1
)
−
g
(
n
)
)
−
1
k
+
1
∫
n
n
+
1
g
′
(
t
)
B
k
+
1
(
t
−
n
)
d
t
{\displaystyle \int _{n}^{n+1}g\left(t\right)B_{k}\left(t-n\right)dt={\frac {b_{k+1}}{k+1}}\left(g\left(n+1\right)-g\left(n\right)\right)-{\frac {1}{k+1}}\int _{n}^{n+1}g'\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)dt}
Рекурентністю для k від 0 до 2p, приймаючи
g
=
f
(
2
p
)
{\displaystyle g=f^{(2p)}}
∫
n
n
+
1
f
(
t
)
d
t
=
f
(
n
)
+
f
(
n
+
1
)
2
+
∑
k
=
2
2
p
(
−
1
)
k
−
1
b
k
k
!
(
f
(
k
−
1
)
(
n
+
1
)
−
f
(
k
−
1
)
(
n
)
)
+
1
(
2
p
)
!
∫
n
n
+
1
f
(
2
p
)
(
t
)
B
2
p
(
t
−
n
)
d
t
{\displaystyle \int _{n}^{n+1}f\left(t\right)dt={\frac {f\left(n\right)+f\left(n+1\right)}{2}}+\sum _{k=2}^{2p}{\frac {\left(-1\right)^{k-1}b_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}\left(n+1\right)-f^{(k-1)}\left(n\right)\right)+{\frac {1}{(2p)!}}\int _{n}^{n+1}f^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}\left(t-n\right)dt}
З властивості :
∀
k
≥
1
,
b
2
k
+
1
=
0
{\displaystyle \forall k\geq 1,b_{2k+1}=0}
∫
n
n
+
1
f
(
t
)
d
t
=
f
(
n
)
+
f
(
n
+
1
)
2
+
∑
k
=
2
⌊
p
2
⌋
b
2
k
(
2
k
)
!
(
f
(
2
k
−
1
)
(
n
+
1
)
−
f
(
2
k
−
1
)
(
n
)
)
+
1
(
2
p
)
!
∫
n
n
+
1
f
(
2
p
)
(
t
)
B
2
p
(
t
−
n
)
d
t
{\displaystyle \int _{n}^{n+1}f\left(t\right)dt={\frac {f\left(n\right)+f\left(n+1\right)}{2}}+\sum _{k=2}^{\lfloor {\frac {p}{2}}\rfloor }{\frac {b_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}\left(n+1\right)-f^{(2k-1)}\left(n\right)\right)+{\frac {1}{(2p)!}}\int _{n}^{n+1}f^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}\left(t-n\right)dt}
Посилання
ред.
Література
ред.
![{\displaystyle [p,q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e13d57ecb142eac51528510911a42941046fcc)
![{\displaystyle [n,n+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b17a9b4490f75c4390ffb2caadf163fd67e048)
![{\displaystyle \int _{n}^{n+1}g\left(t\right)B_{k}\left(t-n\right)dt=\left[{\frac {g\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)}{k+1}}\right]_{n}^{n+1}-{\frac {1}{k+1}}\int _{n}^{n+1}g'\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4115509144e62ed26794ae3d72f9cb127aa4f47)
