Топологія ірраціонального схилу

Топологія ірраціонального схилу (англ. Irrational slope topology)  є прикладом гаусдорфової не цілком гаусдорфової не напіврегулярної, а також $\sigma$-компактої псевдокомпактної ліндельофової не слабко зліченно компактної топології.

Визначення

Нехай $X=\{(x,y)|x,y\in \mathbb {Q} ,y\geq 0\}$ та $\theta$ — фіксоване ірраціональне число. Топологія ірраціонального схилу $\tau$ на $X$ породжується $\varepsilon$-околами $N_{\varepsilon }(x,y)=\{(x,y)\}\cup B_{\varepsilon }(x+y/\theta )\cup B_{\varepsilon }(x-y/\theta )$, де $B_{\varepsilon }(\zeta )=\{r\in \mathbb {Q} |r-\zeta <\varepsilon \}$. Кожен $N_{\varepsilon }(x,y)$ складається з $\{(x,y)\}$ та двох інтервалів на осі $x$ з центрами в точках $x\pm y/\theta$. Лінії, що з'єднують ці точки з $(x,y)$, мають схил $\pm \theta$.

Властивості

• $X$ — гаусдорфів, бо $\theta$ — ірраціональне, тому одночасно дві точки з $X$ не можуть лежати на лінії зі схилом $\theta$, і якщо одна точка з $X$ лежить на лінії зі схилом $\theta$, інша не може лежати на лінії зі схилом $-\theta$, що перетинає першу лінію в точці перетину з віссю $x$. Тому будь-які дві різні точки мають проектуватися (вздовж ліній зі схилом $\theta ,-\theta$) на різні пари ірраціональних точок на осі $x$ з околами, що не перетинаються.
• Замикання кожного базового околу $N_{\varepsilon }(x,y)$ містить об'єднання чотирьох смуг зі схилом $\pm \theta$, що виходять з $B_{\varepsilon }(x+y/\theta )$ і $B_{\varepsilon }(x-y/\theta )$, оскільки кожна точка в кожному промені проектується в ірраціональне число на осі $x$, що лежить в $\varepsilon$-околі або точки $x+y/\theta$, або $x-y/\theta$, тому замикання кожних двох відкритих множин мусять перетинатися. Отже $(X,\tau )$ не є $T_{2{\frac {1}{2}}}$, $T_{3}$, $T_{3{\frac {1}{2}}}$, $T_{4}$, $T_{5}$-простором.
• З того, що замикання кожного базового околу містить околи кожної точки в ромбі, утвореному перетином смуг, випливає, що кожна регулярна відкрита множина має містити такий ромб, і тому не може сформувати базу топології. Отже $(X,\tau )$ не напіврегулярний.
• Оскільки замикання будь-яких двох відкритих множин має непорожній перетин, то $(X,\tau )$ зв'язний. Отже, це зліченний зв'язний гаусдорфів простір. Але він не може бути лінійно зв'язним, бо якщо відображення $f:[0,1]\rightarrow X$ неперервне, то $\{f^{-1}(p):p\in X\}$ є зліченним набором неперетинних замкнених множин, що покривають $[0,1]$, а це неможливо.
• Кожна дійсна неперервна функція $f$ на $(X,\tau )$ є сталою, бо в іншому разі $f(X)$ містило би дві неперетинні відкриті множини з неперетинними замиканнями. Прообрази тоді були б неперетинними відкритими множинами з неперетинними замиканнями, що неможливо. Тому $X$ псевдокомпактний.
• Оскільки $X$ злічений, і будь-яка точка $X$ має зліченну базу системи околів, то $X$ задовольняє другу аксіому зліченності, і тому має $\sigma$-локально скінченну базу. Але $X$ не є $T_{3}$-простором, і тому не метризовний.
• $X$ не є навіть слабко зліченно компактним, тому що послідовність цілих чисел на осі $x$ не має границі.

Джерела

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (Приклад 75)